Série avec trigonométrie.. au dénominateur
Bonjour
Je considère $r>1$, $\theta$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, \, \cos n\theta \neq 0$ (ou si besoin $\theta/\pi$ irrationnel) et je m'intéresse aux séries
$\sum \frac {1} {r^n \cos n\theta }$ et $\sum \frac {1} {r^n | \cos n\theta |}$ . Je pensais qu'elles divergeaient, mais je n'en suis plus si sûr.
J'ai essayé la transformation d'Abel, d'utiliser la densité de certains sous-groupes de $\mathbb{R}$, mais je n'avance pas réellement.
Merci pour toute piste.
Je considère $r>1$, $\theta$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, \, \cos n\theta \neq 0$ (ou si besoin $\theta/\pi$ irrationnel) et je m'intéresse aux séries
$\sum \frac {1} {r^n \cos n\theta }$ et $\sum \frac {1} {r^n | \cos n\theta |}$ . Je pensais qu'elles divergeaient, mais je n'en suis plus si sûr.
J'ai essayé la transformation d'Abel, d'utiliser la densité de certains sous-groupes de $\mathbb{R}$, mais je n'avance pas réellement.
Merci pour toute piste.
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Réponses
Sauf erreur de ma part (je peux avoir tort) :
Il y a 2 manières d'aborder le sujet.
- Ou bien pour montrer que la série diverge, il suffit d'appliquer le lemme qui dit :
$ \sum u_n \ \text{converge} \ \ \Longrightarrow \ \ u_n \xrightarrow[ n \to + \infty ]{} 0 $
et donc par contraposée :
$ u_n $ ne converge pas vers $ 0 \ \ \Longrightarrow \sum u_n \ \ \text{diverge} $.
- Ou bien appliquer l'équivalence suivante :
$ \sum z_n < + \infty \ \ \Longleftrightarrow \ \ \sum \mathfrak{Re} (z_n ) , \sum \mathfrak{Im} (z_n ) < + \infty $
Ai-je raison ?
Le deuxième point n'a pas de sens, et n'a rien à voir avec le problème puisqu'il n'y a que des nombres réels dans la question posée.