Série avec trigonométrie.. au dénominateur

gnouk · June 2019

Bonjour

Je considère $r>1$, $\theta$ tel que $\forall n \in \mathbb{N}, \, \cos n\theta \neq 0$ (ou si besoin $\theta/\pi$ irrationnel) et je m'intéresse aux séries
$\sum \frac {1} {r^n \cos n\theta }$ et $\sum \frac {1} {r^n | \cos n\theta |}$ . Je pensais qu'elles divergeaient, mais je n'en suis plus si sûr.

J'ai essayé la transformation d'Abel, d'utiliser la densité de certains sous-groupes de $\mathbb{R}$, mais je n'avance pas réellement.

Merci pour toute piste.

Poirot · June 2019

Le problème est de savoir à quelle vitesse $\cos(n \theta)$ peut approcher zéro en fonction de $n$, et donc à quelle vitesse des rationnels peuvent approcher $\frac{\pi}{2}$. Pour ce genre de questions, il est bon de disposer de mesures d'irrationnalité de $\pi$. Je n'ai pas le temps de détailler tout de suite, mais tu peux regarder ce message pour voir le genre de choses que l'on peut dire avec ça.

gnouk · June 2019

Merci beaucoup pour ce lien.. effectivement le problème est très fin..

side · June 2019

supp

gnouk · June 2019

Merci pour cette réponse, qui montre qu'il n'y a pas de réponse simple, que cela dépend de l'angle $\theta$ choisi.

Pablo_de_retour · June 2019

Bonjour
Sauf erreur de ma part (je peux avoir tort) :
Il y a 2 manières d'aborder le sujet.
- Ou bien pour montrer que la série diverge, il suffit d'appliquer le lemme qui dit :
$ \sum u_n \ \text{converge} \ \ \Longrightarrow \ \ u_n \xrightarrow[ n \to + \infty ]{} 0 $
et donc par contraposée :
$ u_n $ ne converge pas vers $ 0 \ \ \Longrightarrow \sum u_n \ \ \text{diverge} $.
- Ou bien appliquer l'équivalence suivante :
$ \sum z_n < + \infty \ \ \Longleftrightarrow \ \ \sum \mathfrak{Re} (z_n ) , \sum \mathfrak{Im} (z_n ) < + \infty $
Ai-je raison ?

Poirot · June 2019

Le premier point est certainement bien connu de gnouk. Non seulement ça ne donne qu'une condition nécessaire de convergence, mais il n'est pas évident de voir si celle-ci est vérifiée dans ce cas !

Le deuxième point n'a pas de sens, et n'a rien à voir avec le problème puisqu'il n'y a que des nombres réels dans la question posée.

Série avec trigonométrie.. au dénominateur

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