Transformée d'Abel et Intégration par parties

VT
VT
dans Analyse
Bonjour,
La transformation d'Abel est l'analogue de l'intégration par parties pour les intégrales.
La démonstration de la transformation d'Abel est classique : http://www.les-mathematiques.net/c/a/c/node16.php.
En revanche, j'ai essayé de la démontrer dans le cadre unifié de la théorie de la mesure : $$
\displaystyle \sum_{n\in\mathbb{N}} r_ne_n = \int_{\mathbb{N} } r_ne_n dm(n),
$$ avec $m$ la mesure de comptage.
Mon idée est de faire une intégration par partie. Cependant, je n'arrive pas à donner un sens à la notion de dérivée dans le cas d'une fonction discrète et pourtant l'intuition serait la différence finie, soit différence entre deux termes consécutifs.
Ma question est : y a-t-il un cadre unifié de la différentielle pour donner du sens à cette intuition de la "dérivée discrète" ?
Merci
Vincent

Réponses

  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Bonjour,
    VT a écrit:
    En revanche, j'ai essayé de la démontrer dans le cadre unifié de la théorie de la mesure : $$\displaystyle \sum_{n} r_ne_n = \int_n r_ne_n dm(n)$$ avec $m$ la mesure de comptage.

    D'où vient la formule : $\displaystyle \sum_{n} r_ne_n = \int_n r_ne_n dm(n)$, ( C'est toi qui l'a déduit ? ), parce que $ e_n $ est un vecteur qui ne s'intègre pas par $ \int $. A moins de poser : $ e_n = ( f_{k,1} , \dots , f_{k,n} ) $ si $ E $ est de dimension finie avec : $ f_{j,n} $ sont des fonctions pour tout $ j = 1 , \dots , k $. Non ?
  • VT
    VT
    Dans le cadre de la théorie de la mesure, on a :
    $$\int_{\mathbb{N}}f(n)dm(n)=\sum_{n\in\mathbb{N}}f(n)$$
    Je te renvoie au très bon livre d'intégration de Briane Pagès.
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Oui, $\int_{\mathbb{N}}f(n)dm(n)=\sum_{n\in\mathbb{N}} f(n)$ pour la mesure du comptage, mais ... ( ??? ) quant $ f $ est une fonction, mais dans $ \sum r_n e_n = \int_n r_n e_n dm(n) $, $ e_n $ est un vecteur pas une fonction comme $ f $. Non ? parce que $ e_n \in E $ pour tout $ n $. Non ?
  • VT
    VT
    Une suite est une fonction $f(n)=f_n$ ! D'où
    $$\sum r_ne_n=\sum r(n)e(n)= \int r(n)e(n)dm(n).$$
  • Poirot
    Poirot
    @Pablo : mais qu'est-ce que tu racontes ? Où vois-tu un espace $E$ et des vecteurs ?

    @VT : je te conseille d'ignorer les élucubrations de Pablo. Il va bientôt te dire que tu intègres sur des formes différentielles à coup sûr.
  • Pablo_de_retour
    Pablo_de_retour
    Tu as jeté un œil au lien proposé par @VT dans son premier poste @Poirot ?
    et quand apprendras-tu à être poli envers les gens et arrêter ton agressivité ?
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