Noyau de Gauss et Fourier

Smith
Smith
dans Analyse
Soit $G(t,\cdot)$ le noyau de Gauss (avec $t>0$). Autrement dit on a $$\forall t>0,\quad\mathcal{F}G(t,\cdot)(\xi)=\exp(-\frac{t}{2}x^2).

$$ Soit l'intégrale $$I=\int_{\mathbb{R}^{2}}dzdz' f(z-z')G(t,z-x)G(t,z'-x')$$ avec $f$ une fonction intégrable.
J'aimerais montrer que $$I=(2\pi)^{-1}\int_{\mathbb{R}}d\xi\hat f(\xi)\exp(-i(x-x')\xi-\frac{t}{2}\xi^2).

$$ J'ai voulu utiliser Plancherel mais ici on passe d'une intégrale double à simple. Je ne vois pas comment faire.

Réponses

  • P.
    P.
    Dans la definition de $I$ le dernier $z-x'$ est peut etre plutot $z'-x'?$
  • Smith
    Smith
    Merci P., ce n'est pas pratique depuis son téléphone.
  • P.
    P.
    Il te faut d'abord supposer que la TF de Fourier $\hat{f}$ est integrable et remplacer ainsi $f(z-z')$ par la representation integrale de l'inversion de Fourier. Bien que $I$ devienne une integrale dans $\R^3$ hop on la transforme en l'integrale sur $\R$ que tu veux. Pour passer au cas general peut etre un argument de densite. Mais il me semble que si tu connais la TF de Fourier dans $L^2$ les choses sont plus faciles en supposant $f $ dans $L^2$ et non dans $L^1.$
  • gebrane
    gebrane
    Je crains que son blême est purement calculatoire, dans ce cas tu passes de l’intégrale simple vers l’intégrale double
    Le 😄 Farceur


  • Smith
    Smith
    Merci P. Effectivement ça marche tout seul...

    Et merci aussi pour les idées «théoriques», pour l'instant je me familiarise avec Fourier en faisant des calculs dans le meilleur des mondes.
  • side
    side
    supp
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