Question sur la contraposée de Heine

pruvieros · June 2019

Bonjour,
Il me semble que la démonstration du théorème de Heine qui se trouve sur la wikiversité saute une étape, en tout cas ça va un peu trop vite pour moi.
Lien vers wikiversité:
https://fr.wikiversity.org/wiki/Fonctions_d'une_variable_réelle/Continuité_uniforme

Lien vers la photo de la démo qui me pose problème:
Wikiversité Heine

Je trouve un peu rapide la phrase située sur la 5ème ligne en partant de la fin: "Il s'ensuit que pour tout delta positif, il existe x,y appartenant au voisinage de l de rayon delta tels que etc."

Ne manque-t-il pas une ligne avant cela? Il est vrai que la convergence permet intuitivement de comprendre cette affirmation, mais comment pourrait-on l'introduire plus rigoureusement?

Note: J'apprécie dans cette démonstration qu'elle ne suppose pas f continue, càd qu'elle ne fasse pas intervenir un raisonnement par l'absurde.

Merci par avance pour vos lumières

Pruvieros

Poirot · June 2019

Il s'agit juste de dire quand dans tout voisinage de $l$, on peut trouver un $x_{\varphi(n)}$ et un $y_{\varphi(n)}$ puisque les deux suites convergent vers $l$, et qui vérifient bien l'inégalité annoncée.

christophe c · June 2019

En réaction à http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1826346,1826346#msg-1826346

je donne une preuve du Théorème de Heine, car je crois qu'il est prouvé en L1 (enfin peut-être plus en 2019, je ne sais pas).

1/ Soient $E,F$ deux espaces métriques, avec $E$ compact.

2/ Soit $f$ continue de $E\to F$.

3/ Soit $e>0$.

4/ Un ouvert $U$ sera dit convenable quand il existe dans $U$ un élément $a$ tel que
$$\forall x\in U: dist(f(x),f(a)) <0.1e$$

5/ Les ouverts convenables recouvrent $E$.

6/ Soit $F$ un ensemble fini d'ouverts convenables qui recouvre $E$

7/ Soit $s>0$ tel que $\forall x,y$ dans $E$, si $dist(x,y)<s$ alors il existe $U\in F: \{x;y\} \subseteq U$.

8/ Il suit $\forall x,y$ dans $E:$ si $dist(x,y) <s$ alors $dist(f(x),f(y)) < e$.

9/ Remarque: l'existence de $s$ est un "phénomène célèbre" qui peut servir à plusieurs occasions, il parait intéressant pour un étudiant de la prouver. Je mets une preuve en blanc sur blanc ci-dessous

[size=x-small]7.1/ soit $n$ un entier.

7.2/ Soit $A_n$ l'ensemble des $x\in E$ tels que $Boule(centre:=x, rayon:=1/n)$ n'est incluse dans aucun élément de $F$.

7.3/ La suite $A$ est décroissante.

7.4/ Soit $a$ qui est dans tous les $adh(A_n), n\in \N$

7.5/ En considérant un élément $U$ de $F$ tel que $a\in U$, on obtient une contradiction. Il suit qu'il existe $n$ tel que $A_n=\emptyset$.[/size]

callipiger · June 2019

Bonjour,
sur le même sujet...
pour une leçon d'oral est-ce que la propriété: "de tout recouvrement d'ouverts on peut extraire une famille de recouvrement finie" caractérisant la compacité est une propriété à redémontrer ? quitte à partir de la carctérisation de Bolzano-Weierstras? (que l'on démontre assez facilement pour une suite contenue dans un segment)
merci

Poirot · June 2019

Tout dépend quelle définition tu donnes de la compacité.

pruvieros · June 2019

Bonjour,
Je comprend sbien l'explication de Poirot

Mais est-ce couper les cheveux en quatre, que de dire qu'il est gênant de voir écrit, à la fin de la démonstration suivante, "il existe x,y appartenant à un voisinage de l de rayon delta?
Car dans un tel voisinage, rien n'impose à d(x,y) d'être inférieur à delta!
Je me trompe ou pas?
Si ma remarque tient la route, comment rectifieriez-vous l'énoncé pour qu'il soit rigoureux (sans devenir lourd)?
Merci par avance!
Pruvieros

Poirot · June 2019

Tu peux dire que $x$ et $y$ appartiennent à $]l - \delta/2, l +\delta/2[$ et dans ce cas ils sont bien à distance au plus $\delta$ l'un de l'autre.

side · June 2019

supp

pruvieros · July 2019

OK, merci, J'ai compris que. $d(x,y)<\delta$ ne sert pas dans la démonstration.

Dernier détail:
Tu dis qu'à aucun moment, l'auteur n'a prétendu que $d(x,y)<\delta$.
Mais il me semble que c'est pourtant le cas par construction de $x$ et $y$
(c'est-à-dire par construction de $x_{\phi(n_0)}$ et $y_{\phi(n_0)}$)
Je me trompe?

side · July 2019

supp

pruvieros · February 2020

OK, je comprends maintenant la démonstration, mais il y a quelque chose qui me gêne encore.

En effet, il me semble que la lettre $\delta$ est successivement utilisée dans cette démo dans deux significations différentes.

- Au début de la démonstration, elle est utilisée dans $d\left(x,y\right)\lt\delta$
- A la fin de la démonstration, elle est utilisée dans $x,y\in\left[l-\delta,l+\delta\right]$

Cela me semble pédagogiquement maladroit (en tout cas si je me reporte aux difficultés de compréhension que j'avais en première lecture):
J'étais gêné en fin de démonstration par le choix d'un voisinage de $l$ qui n'imposait plus à $x$ et $y$ la même proximité qu'au début de la démo ($d\left(x,y\right)\lt\delta$), alors même que l'on utilisait l'inégalité $\left|f\left(y\right)-f\left(x\right)\right|\ge\varepsilon$, qui avait pourtant bel et bien été établie sur la base de l'hypothèse $d\left(x,y\right)\lt\delta$.
Je me demandais donc si il était bien légitime d'utiliser cette inégalité sur les images de $x$ et $y$ alors que l'on venait d'affaiblir la contrainte de proximité sur $x$ et $y$.

J'ai finalement compris grâce aux explications deSide et de Poirot en remplaçant mentalement le $\delta$ de la fin de la démonstration par une autre lettre ($\eta$ par exemple)

Confirmeriez-vous que la formulation est maladroite? Ou bien ai-je vraiment la tête dure et reste-t-il qqch que je ne comprends pas?

Pruvieros

pruvieros · February 2020

Bonjour,

Comme je n'ai pas de réponse au message précédent, je rappelle ci-dessous la démonstration de la contraposée de Heine (issue de wikiversité), qui contient à mon avis une maladresse sur laquelle je demande votre avis.:

Démontrons la contraposée, en supposant $\left[a,b\right]\to\R$ non uniformément continue et en prouvant qu'elle est alors discontinue en au moins un point de $\left[a,b\right]$

Par hypothèse, il existe $\varepsilon>0$ tel que

$\forall\delta>0\quad\exists x,y\in\left[a,b\right]\quad\left|x-y\right|<\delta\text{ et }\left|f\left(y\right)-f\left(x\right)\right|\ge\varepsilon$

donc (en prenant $\delta=\frac1n$) pour tout entier $n>0$, on peut alors choisir dans $\left[a,b\right]$ deux éléments $x_n$ et $y_n$ tels que

$\left|x_n-y_n\right|<\frac1n$ et $\left|f\left(y_n\right)-f\left(x_n\right)\right|\ge\varepsilon$.

La suite $\left(x_n\right)$ étant à valeurs dans $\left[a,b\right]$, elle est bornée. Le théorème de Bolzano-Weierstrass assure qu'il existe une sous-suite $\left(x_{\varphi\left(n\right)}\right)$ qui converge. Soit $\ell$ sa limite (qui appartient à $\left[a,b\right]$, par passage à la limite dans les inégalités). La relation $\left|x_{\varphi\left(n\right)}-y_{\varphi\left(n\right)}\right|<\frac1{\varphi\left(n\right)}\le\frac1n$ montre que $\left(y_{\varphi(n)}\right)$ converge aussi vers $\ell$.

Il s'ensuit que pour tout $\delta>0$, il existe x,y$\in\left]\ell-\delta,\ell+\delta\right[\cap\left[a,b\right]$ tels que

$\left|f\left(y\right)-f\left(x\right)\right|\ge\varepsilon$

donc tels que

$\left|f\left(x\right)-f\left(\ell\right)\right|\ge\varepsilon/2$ ou $\left|f\left(y\right)-f\left(\ell\right)\right|\ge\varepsilon/2$,

ce qui prouve que $f$ est discontinue au point $\ell$.

Math Coss · February 2020

Ça me semble très convaincant.

troisqua · February 2020

Je n'ai sûrement pas le niveau d'être dans le jury mais si c'était le cas je ne pourrais pas m'empêcher de demander: "vous avez utilisé une version faible de l'axiome du choix (dénombrable); pouvez-vous citer cet axiome et expliquer comment il s'utilise précisément ici ?" ou bien "avez vous une démonstration indépendante de l'axiome du choix ?"

PS
Je n'ai jamais compris pourquoi on fait beaucoup de cas dans certaines démos de l'utilisation de l'axiome du choix et pourquoi parfois on ne le mentionne pas du tout alors qu'il est tout autant profondément utilisé.

troisqua · February 2020

Je complète mon message précédent en donnant un exemple de preuve possible.

Pré-requis :
1) on a défini la compacité par l'extraction finie de sous-recouvrements par des ouverts,
2) le produit de deux compacts est compact,
3) toute application réelle continue sur un compact y trouve un minimum,
(via la définition 1), les démos de 2) et 3) sont indépendantes de l'axiome du choix).

Je note $\left(E_{1};d_{1}\right)$ l'espace de départ supposé compact et $\left(E_{2};d_{2}\right)$ l'espace d'arrivée. On considère $f$ continue de $E_{1}$ dans $E_{2}$. On fixe $\varepsilon>0$ et on note $F=\left\{ (x;y)\in E_1^{2}\mid d_{2}\big(f(x);f(y)\big) \geqslant\varepsilon\right\} $.
Si $F$ est vide, $d_{1}\left(x;y\right)<1$ implique $d_{2}\big(f\left(x\right);f\left(y\right)\big)<\varepsilon$.
Sinon, comme $F$ est un fermé du compact $E_1^2$ par continuité de $f$, on en déduit que $F$ est compact. Par continuité de $d_{1}$, celle-ci trouve dans $F$ un minimum $\delta>0$. On a alors $d_{1}\left(x;y\right)<\delta$ implique $d_{2}\big(f\left(x\right);f\left(y\right)\big)<\varepsilon$.

Question sur la contraposée de Heine

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