Inégalité

Merci, Ça marche.

Soient $x,y\in\mathbb{R}^n$ tels $|x-y|<\frac{1}{2}.$
Posons $f(x)=\frac{1}{\ln(e+|x|)}$ et $g(t)=f(x+t(y-x)).$
$g$ est continue et dérivable sur $[0,1]$ et on a $g'(t)=\nabla f(x+t(y-x))\cdot(y-x)$ où \[
\nabla f(x)=-\frac{x}{|x|}\frac{1}{e+|x|}\frac{1}{\ln^2(e+|x|)}.
\] Ainsi de cet expression on a $|\nabla f(x)|\leq\frac{1}{e}$
D'où \begin{align*}
|g(1)-g(0)|&=|\int_{0}^{1}g'(t)dt|\\
&\leq\int_{0}^{1}|g'(t)|dt\\
&\leq\frac{1}{e}|y-x|.
\end{align*} D'autre part comme la fonction $h\longmapsto h\ln h$ est continue sur $]0,1]$ et prolongeable par continuité en $0$ alors elle est bornée sur le compact $[0,1].$ D'où il existe $C>0$ tel que pour tout $h\in[0,1]$ on a $|h\ln h|\leq C.$ Ainsi comme $|y-x|<\frac{1}{2},\,h=\frac{2|y-x|}{e}\in [0,1];$ D'où on a \[
\frac{2|y-x|}{e}\leq\frac{C}{\ln(\frac{e}{2|y-x|})}.
\] D'où \[|f(x)-f(y)|\leq\frac{C}{2\ln(\frac{e}{2|y-x|})}.\]

Bonsoir,
En utilisant le théorème des accroissement finis au lieu de l'intégral on n'aura plus ce problème. Car $g$ est continue et dérivable sur $[0,1]$, donc il existe $\theta\in]0,1[$ tel que
$g(1)-g(0)=g'(\theta)$.

Puisque $f$ est non nul, car $e+|x|>1$ pour tout $x\in\mathbb{R}^n.$ alors $g$ sera aussi non nul.

Je veux dire comme g est non nul, et que $f$ continue sur $\mathbb{R}^n$ alors $g$ est continue sur $\mathbb{R}$ et comme il est aussi dérivable sur $\mathbb{R}$ car $ f$ différentiable sur $\mathbb{R}^n$.Donc le TAC marche.