Bonsoir
Démontrer que $$\frac{\pi^2}{4n}\int_{-n}^n f(x) \cos(\pi x) dx=1$$
avec $f$ la fonction définie par :
$f(x)=x-E(x)$, si $E(x)$ est pair
$f(x)=1-(x-E(x))$, si $E(x)$ est impair,
avec $E$ la parte entière.
edit c'est uniquement pour le fun
:-D
Réponses
la réponse est évidente si on remarque que la fonction est paire et 2 périodique et que son expression sur [0,1] est simple à trouver.
J'ai posé la question sur ME pour avoir d'autres façons d'attaques mais .sous forme ( trompeuse) de calcul d'une limite, la réponse donnée est élégante
Cela me fait penser à toutes ces formules où interviennent des parties fractionnaires.
La méthode "naturelle" est, me semble-t-il, de saucissonner l'intervalle d'intégration pour faire disparaître la fonction valeur entière (ou valeur fractionnaire).
$n\geq 0$, un entier.
\begin{align}\int_0^1 \int_0^1 \arctan\left(\frac{x^n}{y^n}\right)\,dx\,dy\end{align}
PS:
Au moment où j'écris cela je n'ai aucune idée pour la calculer. B-)-
PS2:
Je viens de me rendre compte que dans ce magazine il y a la solution. :-D
On peut prendre $n$ réel positif. Le fait que $n$ soit un entier ne joue aucun rôle du tout.
PS:
Il y a une autre manière de faire que celle proposée par cette revue, qui est, dans un certain sens, naturelle aussi.
Pour n=1, on trouve bien cette valeur
Mais il y a une autre méthode (un peu plus compliquée mais qui est naturelle dans le calcul intégral).
On introduit la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par,
\begin{align}F(a)=\int_0^1 \int_0^1 \arctan\left(\frac{x^a}{y^a}\right)\,dx\,dy\end{align}
Et on montre que $F^\prime$ est identiquement nulle et on calcule facilement $F(0)$.