Une intégrale pour le fun

gebrane
gebrane
dans Analyse
Bonsoir

Démontrer que $$\frac{\pi^2}{4n}\int_{-n}^n f(x) \cos(\pi x) dx=1$$
avec $f$ la fonction définie par :
$f(x)=x-E(x)$, si $E(x)$ est pair
$f(x)=1-(x-E(x))$, si $E(x)$ est impair,
avec $E$ la parte entière.

edit c'est uniquement pour le fun :-D
Le 😄 Farceur


Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Source de la question https://fr.khanacademy.org/math/calculus-home/integration-techniques-calc/integration-by-parts-calc/v/periodic-definite-integral
    la réponse est évidente si on remarque que la fonction est paire et 2 périodique et que son expression sur [0,1] est simple à trouver.
    J'ai posé la question sur ME pour avoir d'autres façons d'attaques mais .sous forme ( trompeuse) de calcul d'une limite, la réponse donnée est élégante
    Le 😄 Farceur


  • Fin de partie
    Fin de partie
    Je pense que l'angle d'attaque est clair mais ce sont des calculs que je trouve pénibles à réaliser.
    Cela me fait penser à toutes ces formules où interviennent des parties fractionnaires.
    La méthode "naturelle" est, me semble-t-il, de saucissonner l'intervalle d'intégration pour faire disparaître la fonction valeur entière (ou valeur fractionnaire).
  • gebrane
    gebrane
    rebonjour, une autre87740
    Le 😄 Farceur


  • Cyrano
    Cyrano
    Facile. Le premier morceau est une fonction impaire que l'on intègre sur un intervalle symétrique par rapport à $0$. Donc son intégrale vaut $0$ aussi et il suffit de calculer $$\int_{0}^2 \sqrt{4-x^2} dx.$$
  • gebrane
    gebrane
    bien vue. Si je te vois dans la salle ( Chapeau melon et pipe) je changerais aussitôt le code :-D
    Le 😄 Farceur


  • Math Coss
    Math Coss
    C'est faussement compliqué... (Ouf !)
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Une intégrale trouvée dans le dernier Mathematics magazine, volume 92, numéro 3.

    $n\geq 0$, un entier.
    \begin{align}\int_0^1 \int_0^1 \arctan\left(\frac{x^n}{y^n}\right)\,dx\,dy\end{align}

    PS:
    Au moment où j'écris cela je n'ai aucune idée pour la calculer. B-)-
    PS2:
    Je viens de me rendre compte que dans ce magazine il y a la solution. :-D
  • etanche
    etanche
    @fin de partie faut pas utiliser arctan(u)+arctan(1/u) = pi/2 si u>0
  • Fin de partie
    Fin de partie
    C'est une affirmation ou une question?

    On peut prendre $n$ réel positif. Le fait que $n$ soit un entier ne joue aucun rôle du tout.

    PS:
    Il y a une autre manière de faire que celle proposée par cette revue, qui est, dans un certain sens, naturelle aussi.
  • gebrane
    gebrane
    Si je pose cette question sur ME, ils vont bloquer mon compte surement . Je vais réfléchir sur le comment
    Le 😄 Farceur


  • etanche
    etanche
    @ fin de partie ça fait pi/4 ?
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Je pense que oui, en effet.
  • gebrane
    gebrane
    On doit comprendre quoi en lisant "Je pense que oui, en effet"
    Pour n=1, on trouve bien cette valeur
    Le 😄 Farceur


  • Fin de partie
    Fin de partie
    Etanche a donné la méthode plus haut.
    Mais il y a une autre méthode (un peu plus compliquée mais qui est naturelle dans le calcul intégral).
  • Fin de partie
    Fin de partie
    Une autre méthode possible.

    On introduit la fonction définie sur $[0;+\infty[$ par,
    \begin{align}F(a)=\int_0^1 \int_0^1 \arctan\left(\frac{x^a}{y^a}\right)\,dx\,dy\end{align}
    Et on montre que $F^\prime$ est identiquement nulle et on calcule facilement $F(0)$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 30

FoysJLTNoveangSethMorleyJuniorchanigkolotokostfj +23 Invités