Suite, série entière, équa diff

totem
totem
dans Analyse
Bonsoir, exo assez complet.

Soit $(a_n)_{n\geq 0}$ la suite définie par $a_0=a_1=1$ et quelque soit $n \in \N^*,~ a_{n+1}=a_n+\frac{2}{n+1}a_{n-1}.$
1) Montrer que quelque soit $n \in\N^*,~1\leq a_n \leq n^2.$
Par récurrence

2) Déterminer le rayon de convergence $R$ de la série $\sum a_n x^n.$
?? Aucune idée

3) Montrer que sa somme $f$ vérifie une équation différentielle sur $]{-}R;R[ $.
Alors là j'ai bidouillé : j'ai multiplié par $(n+1)x^{n+1}$ la relation de récurrence, mis des signes somme partout (licite ??) puis après décalages d'indices et factorisation de termes en $x$, j'obtiens : $\quad (x-x^2) f ' = (x+2x^2) f $

4) Déterminer $f$ et en déduire une expression de $a_n$ en fonction de $n$ sous forme de somme.
L'équa diff s'intègre en : $\quad f(x) =\lambda (x-1)^3 e^x $
Je ne sais pas comment déterminer $\lambda $ ?
$a_n$ : J'ai rentré de force le $(x-1)^3$ dans le DSE de $e^x$ , mais après...

A vous de jouer !

@AD: comment dit-on en Latex: appartient ? supérieur /inférieur ou égal ? quantificateurs ?
[Clic droit sur l'expression > Afficher sous forme > Commande TeX. AD]

Réponses

  • Math Coss
    Math Coss
    Le rayon de la série vaut $1$ parce que si $|x|>1$, on a $|a_nx^n|\ge|x|^n$ qui diverge et que si $|x|<1$, on a $|a_nx^n|\le n^2|x|^n$ qui converge.

    Ton équation différentielle peut être simplifiée par $x$.

    Je n'ai pas l'impression que la fonction que tu donnes en soit une solution.

    Pour calculer $\lambda$ (avec une solution éventuellement modifiée) tu peux simplement calculer $f(0)$.

    Pour les inégalités larges : \leq ou \le pour $\leq$ ou $\le$) et \geq pour $\geq$ (ou \ge pour $\ge$). Sens : "lower/greater than or equal".
  • totem
    totem
    @MathCoss: merci pour la 2)

    3) En fait je ne suis même pas sûr de l'équation différentielle...

    4) En effet on a plutôt $f(x) =\lambda \frac{e^{-2x}}{(1-x)^3}$ je m'étais trompé.

    Pour $\lambda$,on a $f(0)=\lambda$ d'une part, et $f(0)=0$ d'autre part, ça veut dire que $\lambda=0$ ? impossible :-S
  • lale
    lale
    $f(x)=\frac{e^{-2x}}{(1-x)^3}$
    Car $\frac{1+2x}{1-x}=-2+\frac{3}{1-x}$
    attention au signe - de $1-x$ pour l'intégration .
    Remarque: le résultat est compatible avec le fait que le rayon de convergence est 1
  • totem
    totem
    @Iale : merci pour ta confirmation je m'étais planté !

    Une idée pour le calcul de la constante d'intégration $\lambda$ ?


    Pour la question "déterminer $a_n$ en fonction de $n$ ça sent le DSE du numérateur et du dénominateur et le produit de Cauchy non ? j' essaie ça et je reviens.
  • lale
    lale
    $f(0)=a_0=1$
  • totem
    totem
    Ah oui bien sûr !
  • totem
    totem
    @Iale :
    > .
    > Remarque: le résultat est compatible avec le fait
    > que le rayon de convergence est 1

    Que veux-tu dire stp ?
  • lale
    lale
    Je veux dire que la fonction tend vers l'infini quand x tend vers 1.
  • totem
    totem
    Ah d'accord.
    Et si la fonction ne tendait pas vers l'infini , ce ne serait pas compatible ?
  • Poirot
    Poirot
    C'est dans l'autre sens : si le rayon de convergence était plus grand que $1$, la fonction ne pourrait pas exploser en $1$.
  • totem
    totem
    @Poirot : ah oui c'est la réciproque en fait...enfin si j'ai bien compris !

    Bon sinon pour la 4) j'ai fait un produit de Cauchy ($\frac{1}{(1-x)^3}$ est la dérivée seconde de la série géométrique) ça marche bien a priori...
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