Continuité
Bonjour comment montrer que $\frac{x}{1-|x|}$ est continue sur ]-1,1[
soit $\varepsilon >0$ et $x_0\in ]-1,1[$,
$$\left| \frac{x}{1-|x|}-\frac{x_0}{1-|x_0|}\right|=\dfrac{x-x| x_0| -x_0+x_0|x|} {(1-|x|)(1-|x_0|)}<\varepsilon$$
comment majorer la quantité $| x|x_0|-x_0|x| |$ merci
soit $\varepsilon >0$ et $x_0\in ]-1,1[$,
$$\left| \frac{x}{1-|x|}-\frac{x_0}{1-|x_0|}\right|=\dfrac{x-x| x_0| -x_0+x_0|x|} {(1-|x|)(1-|x_0|)}<\varepsilon$$
comment majorer la quantité $| x|x_0|-x_0|x| |$ merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Il y'a $3 $ cas à distinguer :
- $ x_0 \in ] 0 , 1 [ $
- $ x_0 = 0 $
- $ x_0 \in ] -1 , 0 [ $.
Moi, je fais le cas : $ x_0 \in ] 0 , 1 [ $, et toi tu fais les autres.
Soit $ x_0 \in ] 0 , 1 [ $ :
Soit $ \epsilon > 0 $ :
On a :
$$ \left| \frac{x}{1-|x|}-\frac{x_0}{1-|x_0|} \right| = \left| \frac{|x|}{1-|x|}-\frac{|x_0|}{1-|x_0|}\right| = | f(|x|) - f(|x_0|) | \leq f'(c) | |x| - |x_0| | \leq f'(c) |x - x_0 | $$
avec : $ f(x) = \dfrac{x}{1-x} $
Si : $ f'(c) |x - x_0 | < \epsilon $, alors : $ \left| \frac{x}{1-|x|}-\frac{x_0}{1-|x_0|} \right| < \epsilon $.
Si : $ | x - x_0 | < \dfrac{\epsilon}{ f'(c) } $ , alors : $ f'(c) |x - x_0 | < \epsilon $
Par conséquent, $ \exists \eta = \dfrac{\epsilon}{ f'(c) } > 0 $ tel que $ \forall x $ au voisinage de $ x_0 $ : $ |x-x_0 | < \eta \ \ \Longrightarrow \ \ \left| \frac{x}{1-|x|}-\frac{x_0}{1-|x_0|} \right| < \epsilon $.
D'où : $ \displaystyle \lim_{ x \to x_0 } f(x) = f(x_0 ) $.
C'est à dire : $ f $ est continue en $ x_0 $ lorsque $ x_0 \in ] 0 , 1 [ $.
A toi maintenant de suivre la meme démarche pour les deux cas restants.
Cordialement.
Il y'a une différence entre : $ x \to \dfrac{x}{1-x} $ et $ x \to \dfrac{x}{1 - |x| } $.
Donc, on peut admette à priori que $ f(x) = \dfrac{x}{1-x} $ est continue puisque ce qui est demandé est la continuité de $ x \to \dfrac{x}{1- |x| } $ et non celle de $ x \to \dfrac{x}{1 - x } $.
Ou bien avant tout, on montre d'abord que : $ x \to \dfrac{x}{1 - x } $ est continue sur $ ] 0 , 1 [ $ ce qui est immédiat. Non ?
@Pablo : si on admet la continuité de $f:x\mapsto x/(1-x)$ sur $\left[0,1\right[$, on a ipso facto celle de $x\mapsto x/\bigl(1-|x|\bigr)$ sur $\left[0,1\right[$, d'où celle de $x\mapsto-x/(1-x)$ sur $\left[0,1\right[$ (multiplication par $-1$ ou définition directe), d'où celle de $u\mapsto u/(1+u)$ sur $\left]-1,0\right]$, d'où celle de $x\mapsto x/\bigl(1-|x|\bigr)$ sur $\left]-1,0\right]$. Il n'y a plus qu'à traiter la continuité en $0$ : soit directement, soit par continuité à gauche et à droite.
Bref, si on admet la continuité de $f$ sur $\left[0,1\right[$, on peut conclure très facilement sans accroissements finis. Ce n'est pas sans rapport avec ce qu'a dit Frédéric Bosio d'ailleurs.