Suite de Cauchy

math89 · June 2019

Bonsoir, s'il vous plaît comment montrer que cette suite est de Cauchy $(\frac{n}{n+1})$ dans $(]-1,1[,|.|)$

Je n'ai pas su trouver $n_0$

Soit p>q:$ \left| \frac{p}{p+1}-\frac{q}{q+1}\right|< \frac{p}{p+1}<\varepsilon$
.Comment continuer?

O.G. · June 2019

Il faudrait améliorer l'inégalité
$|\frac{p}{p+1}-\frac{q}{q+1}|<\frac{p}{p+1}$,
ce n'est pas du tout optimal...

aléa · June 2019

Il n'est pas interdit d'utiliser ce que l'on sait bien pour nourrir l'intuition et les inégalités.

$n/(n+1)$ tend vers $1$ dans $\R$ donc il est possible de montrer que pour $q$ et $p$ grands,
$q/(q+1)$ et $p/(p+1)$ sont tous deux proches de $1$, donc proches par inégalité triangulaire.
A écrire proprement bien sûr.

math89 · June 2019

alors $|\frac{p}{p+1}-\frac{q}{q+1}|=\frac{p-q}{(p+1)(q+1)}<\frac{p}{(p+1)(q+1)}$

math89 · June 2019

Je ne sais pas comment faire @aléa j'ai compris l'idée mais je ne vois pas le moyen de faire ça

Poirot · June 2019

Comme l'a dit alea, on sait que la suite converge vers $1$, donc autant introduire la limite avec l'inégalité triangulaire : $$\left|\frac{p}{p+1} - \frac{q}{q+1}\right| \leq \left|\frac{p}{p+1}-1\right| + \left|\frac{q}{q+1}-1\right| = \frac{1}{p+1} + \frac{1}{q+1}.$$

aléa · June 2019

Prends $N$. Tu diras plus tard comment il faut le choisir.
Supposes $p$ et $q$ plus grands que $N$.

$|{1}-\frac{p}{p+1}|=\frac1{p+1}\le\frac1{N}$.

Tu fais pareil pour $q$, tu obtiens $|\frac{p}{p+1}-\frac{q}{q+1}|\le \frac{2}N$.

C'était le brouillon. Au propre, prends $\epsilon$, puis choisis $N$, etc..

gebrane · June 2019

Si on utilise la limite, c'est une façon de tricher (on redémontre que toute suite convergente est de Cauchy)

D’après tes premiers calculs
$\displaystyle |\frac{p}{p+1}-\frac{q}{q+1}|=\frac{|p-q|}{(p+1)(q+1)}= \frac{|(p+1)-(q+1)|}{(p+1)(q+1)}$
L'utilisation de 1 cette fois ci est naturelle. La suite s'ensuit.

Suite de Cauchy

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