Je viens de voir, en effet, une méthode plus simple que ce à quoi je pensais (grâce à Gebrane)
On commence par utiliser le fait que la fonction est paire ce qui permet de restreindre à intégrer sur $[0;\pi]$
Puis on applique le changement de variable $y=\pi-x$
En fait, mon idée initiale n'est pas plus compliquée.
\begin{align}J&=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{x\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx\\
&=2\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx\\
&=-2\Big[x\arctan\left(\cos x\right)\Big]_{0}^{\pi} +2\int_{0}^{\pi} \arctan\left(\cos x\right)\,dx\\
&=\frac{\pi^2}{2}+2\int_{0}^{\pi} \arctan\left(\cos x\right)\,dx\\
K&=\int_{0}^{\pi} \arctan\left(\cos x\right)\,dx\\
\end{align}
On applique le changement de variable $y=\pi-x$,
\begin{align}K&=-\int_{0}^{\pi} \arctan\left(\cos x\right)\,dx\end{align}
Donc $K=0$ et on a donc:
\begin{align}\boxed{J=\dfrac{\pi^2}{2}}\end{align}
On peut obtenir une relation de récurrence.
Dans ton intégrale on fait à nouveau le changement de variable $y=\pi-x$ et on va obtenir une relation qui lie $I(0),I(1),...,I(n-1)$ sauf erreur.
Si tu n'aimes pas cette présentation tu coupes l'intégrale en une somme de deux intégrales de $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$ et de
$\dfrac{\pi}{2}$ à $\pi$. Dans la deuxième intégrale tu fais le même changement de variable $y=\pi-x$.
Je connaissais la valeur de l'intégrale initiale (Wolfy est capable de la calculer) mais il est naturel de commencer par utiliser les symétries de l'intégrande avant de sortir de l'artillerie qui peut être lourde. Pour calculer cette intégrale on utilise que des recettes standard, aucun truc de sioux sorti de derrière les fagots n'est mobilisé.
Au départ, j'ai cru que l'intégrande était impaire* mais j'ai mieux chaussé mes lunettes pour voir qu'elle était en fait paire. B-)-
*: quand l'intervalle d'intégration est de la forme $[-a,a]$ avec $a>0$ c'est la moindre des choses de se demander si la fonction à intégrer ne serait pas, par hasard, paire ou impaire.
Réponses
On commence par utiliser le fait que la fonction est paire ce qui permet de restreindre à intégrer sur $[0;\pi]$
Puis on applique le changement de variable $y=\pi-x$
\begin{align}J&=\int_{-\pi}^{\pi} \frac{x\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx\\
&=2\int_{0}^{\pi} \frac{x\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx\\
&=-2\Big[x\arctan\left(\cos x\right)\Big]_{0}^{\pi} +2\int_{0}^{\pi} \arctan\left(\cos x\right)\,dx\\
&=\frac{\pi^2}{2}+2\int_{0}^{\pi} \arctan\left(\cos x\right)\,dx\\
K&=\int_{0}^{\pi} \arctan\left(\cos x\right)\,dx\\
\end{align}
On applique le changement de variable $y=\pi-x$,
\begin{align}K&=-\int_{0}^{\pi} \arctan\left(\cos x\right)\,dx\end{align}
Donc $K=0$ et on a donc:
\begin{align}\boxed{J=\dfrac{\pi^2}{2}}\end{align}
Rendons les choses plus savoureuses
A tous,
Jusqu’à quel n, pouvez calculer de façon exacte $$I(n)=\int_{0}^{\pi} \frac{x^n\sin(x)}{1+\cos^2(x)} dx$$
je regarde pour n=2, si quelqu'un trouve une formule pour tout n alors (tu)
On peut obtenir une relation de récurrence.
Dans ton intégrale on fait à nouveau le changement de variable $y=\pi-x$ et on va obtenir une relation qui lie $I(0),I(1),...,I(n-1)$ sauf erreur.
Un nombre qui est égal à son opposé est nul.
Si tu n'aimes pas cette présentation tu coupes l'intégrale en une somme de deux intégrales de $0$ à $\dfrac{\pi}{2}$ et de
$\dfrac{\pi}{2}$ à $\pi$. Dans la deuxième intégrale tu fais le même changement de variable $y=\pi-x$.
OK
Je connaissais la valeur de l'intégrale initiale (Wolfy est capable de la calculer) mais il est naturel de commencer par utiliser les symétries de l'intégrande avant de sortir de l'artillerie qui peut être lourde. Pour calculer cette intégrale on utilise que des recettes standard, aucun truc de sioux sorti de derrière les fagots n'est mobilisé.
Au départ, j'ai cru que l'intégrande était impaire* mais j'ai mieux chaussé mes lunettes pour voir qu'elle était en fait paire. B-)-
*: quand l'intervalle d'intégration est de la forme $[-a,a]$ avec $a>0$ c'est la moindre des choses de se demander si la fonction à intégrer ne serait pas, par hasard, paire ou impaire.