Une inégalité ardue

gebrane · June 2019

Bonjour,

Avant la réunion hebdomadaire ( se samedi) avec mon groupe
La maline qui a proposée l’égalité ardue avait proposée aussi cette inégalité ardue.

C'est la spécialité de notre Cher YvesM

Elle a ajoutée que la constante qu'on cherche est la solution de l’énigme
Un escargot est au fond d'un puits de 102 m.
Chaque matin il monte de 3 m et chaque nuit il descend de 2 m.
Combien de jours lui faudra-t-il pour sortir de ce puits? 87784

Frédéric Bosio · June 2019

En comparant $a$ à $b$ à l'optimum, on élimine une variable et en utilisant l'homogénéité, on en élimine une autre. Il reste alors juste à trouver le maximum d'une fonction d'une seule variable.

gebrane · June 2019

Merci Frédéric Bosio
D’après l’énigme , j'ai essayé de démontrer que $$((a+b)^2+(a+b+4c)^2)\frac {a+b+c}{abc}\geq 100$$
l’égalité est atteinte par exemple pour a=b=2 et c=1

Frédéric Bosio · June 2019

C'est cela. en fait on se ramène à minimiser sur ${\mathbb R }_+ ^* $ la fonction $\frac{16 x^3 + 40 x^2 + 48 x + 16 }{x^2 }$, dont la dérivée est $\frac{16(x-2)(x+1)^2 }{x^3 }$.

Alexique · June 2019

Si je détaille à peine :
par homogénéité, on peut supposer que $abc=1$ et on élimine le $c=\frac{1}{ab}$. On doit donc minimiser $f(a,b)=(S^2+(S+\frac{4}{P})^2)(S+\frac{1}{P})$ où $S=a+b$ et $P=ab$. En utilisant $S^2 \geq 4P$ (bien connue) ie $\frac{1}{P}\geq \frac{4}{S^2}$, on a $f(a,b) \geq (S^2+(S+\frac{16}{S^2})^2)(S+\frac{4}{S^2}) :=g(S)$. Par Wolfram, $g'(S)=\dfrac{6(S^3-16)(S^3+8)^2}{S^7}$ donc $g(S) \geq g(\sqrt[3]{16})=100$. Gebrane a donné un cas d'égalité.

Une solution sans dérivation de JLT serait intéressante par exemple...

JLT · June 2019

Je ne vois pas de solution tellement meilleure. On pourrait à la rigueur dire que
\begin{eqnarray*}
((a+b)^2+(a+b+4c)^2)(a+b+c)-100abc&\geqslant& ((a+b)^2+(a+b+4c)^2)(a+b+c)-25(a+b)^2c\\
&=&(a+b-4c)^2(2a+2b+c)\geqslant 0.
\end{eqnarray*}

gebrane · June 2019

Merci à vous tous
Je vais vous informer de la solution qui nous sera proposé elle.

Frédéric Bosio · June 2019

Cher JLT, je trouve que tu rabaisses un peu ta solution. Elle me semble au contraire plus élémentaire que les autres (un lycéen, voire un collégien peut l'admirer) ; la seule chose est que la valeur est parachutée et non trouvée, mais je trouve la formule bien jolie.

gebrane · June 2019

Bonjour,

Elle nous a proposée une méthode se basant uniquement sur l’inégalité géométrique : si $a_i$ des nombres positifs, alors $\sum_{i=1}^n a_i \geq n (\prod a_i)^{\frac 1n}$

En utilisant cette inégalité deux fois de suite ( pour n=2 puis pour n=5), elle a trouvée la minoration $((a+b)^2+(a+b+4c)^2)\frac {a+b+c}{abc}\geq 100$

Qui peut ?

JLT · June 2019

On pose $a+b=4t$. Comme $ab\leqslant ((a+b)/2)^2=4t^2$, cela revient à montrer que
$(16t^2+16(t+c)^2)\frac{4t+c}{4t^2c}\geqslant 100$, ou encore que $(t^2+(t+c)^2)(4t+c)\geqslant 25 t^2c$.
Or, $4t+c=t+t+t+t+c\geqslant 5(t^4c)^{1/5}$ et $t^2+(t+c)^2=t^2+t^2+tc+tc+c^2\geqslant 5(t^6c^4)^{1/5}$ donc il suffit de multiplier les deux dernières inégalités pour conclure.

gebrane · June 2019

Bien vu (tu)

callipiger · June 2019

Bonjour,
c'est bien tout ça (:P)
en ces temps de canicule... (l'escargot estive...) une petite extension de 7 nuits permettrait de bien sortir ... d'ailleurs il ne doit sortir que la nuit. Il ne faut pas toujours être optimâle.

gebrane · June 2019

d'ailleurs il ne doit sortir que la nuit.
C'est un puits profond et sombre, le petit escargot peut-il faire une différence entre les nuits et les jours?