Une inégalité ardue
Bonjour,
Avant la réunion hebdomadaire ( se samedi) avec mon groupe
La maline qui a proposée l’égalité ardue avait proposée aussi cette inégalité ardue.
C'est la spécialité de notre Cher YvesM
Elle a ajoutée que la constante qu'on cherche est la solution de l’énigme
Un escargot est au fond d'un puits de 102 m.
Chaque matin il monte de 3 m et chaque nuit il descend de 2 m.
Combien de jours lui faudra-t-il pour sortir de ce puits?
Avant la réunion hebdomadaire ( se samedi) avec mon groupe
La maline qui a proposée l’égalité ardue avait proposée aussi cette inégalité ardue.
C'est la spécialité de notre Cher YvesM
Elle a ajoutée que la constante qu'on cherche est la solution de l’énigme
Un escargot est au fond d'un puits de 102 m.
Chaque matin il monte de 3 m et chaque nuit il descend de 2 m.
Combien de jours lui faudra-t-il pour sortir de ce puits?
Le 😄 Farceur
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Réponses
D’après l’énigme , j'ai essayé de démontrer que $$((a+b)^2+(a+b+4c)^2)\frac {a+b+c}{abc}\geq 100$$
l’égalité est atteinte par exemple pour a=b=2 et c=1
par homogénéité, on peut supposer que $abc=1$ et on élimine le $c=\frac{1}{ab}$. On doit donc minimiser $f(a,b)=(S^2+(S+\frac{4}{P})^2)(S+\frac{1}{P})$ où $S=a+b$ et $P=ab$. En utilisant $S^2 \geq 4P$ (bien connue) ie $\frac{1}{P}\geq \frac{4}{S^2}$, on a $f(a,b) \geq (S^2+(S+\frac{16}{S^2})^2)(S+\frac{4}{S^2}) :=g(S)$. Par Wolfram, $g'(S)=\dfrac{6(S^3-16)(S^3+8)^2}{S^7}$ donc $g(S) \geq g(\sqrt[3]{16})=100$. Gebrane a donné un cas d'égalité.
Une solution sans dérivation de JLT serait intéressante par exemple...
\begin{eqnarray*}
((a+b)^2+(a+b+4c)^2)(a+b+c)-100abc&\geqslant& ((a+b)^2+(a+b+4c)^2)(a+b+c)-25(a+b)^2c\\
&=&(a+b-4c)^2(2a+2b+c)\geqslant 0.
\end{eqnarray*}
Je vais vous informer de la solution qui nous sera proposé elle.
Elle nous a proposée une méthode se basant uniquement sur l’inégalité géométrique : si $a_i$ des nombres positifs, alors $\sum_{i=1}^n a_i \geq n (\prod a_i)^{\frac 1n}$
En utilisant cette inégalité deux fois de suite ( pour n=2 puis pour n=5), elle a trouvée la minoration $((a+b)^2+(a+b+4c)^2)\frac {a+b+c}{abc}\geq 100$
Qui peut ?
$(16t^2+16(t+c)^2)\frac{4t+c}{4t^2c}\geqslant 100$, ou encore que $(t^2+(t+c)^2)(4t+c)\geqslant 25 t^2c$.
Or, $4t+c=t+t+t+t+c\geqslant 5(t^4c)^{1/5}$ et $t^2+(t+c)^2=t^2+t^2+tc+tc+c^2\geqslant 5(t^6c^4)^{1/5}$ donc il suffit de multiplier les deux dernières inégalités pour conclure.
c'est bien tout ça (:P)
en ces temps de canicule... (l'escargot estive...) une petite extension de 7 nuits permettrait de bien sortir ... d'ailleurs il ne doit sortir que la nuit. Il ne faut pas toujours être optimâle.
C'est un puits profond et sombre, le petit escargot peut-il faire une différence entre les nuits et les jours?