Série entière

On peut écrire la fonction comme une fonction de $x^2 $ et éliminer alors le $n$ du dénominateur en dérivant. Après, pour calculer la dérivée de la fonction, on revient, comme Poirot le suggère, à la forme exponentielle du $\cosh $. Puis on reprend une primitive en faisant attention à la constante et on remet du $x^2 $.

Tu as raison. Si on connaît la formule, c'est direct.

Bah ça se fait de la même manière non ?

Oui. Pour $|u|<1$, le complexe $1-u$ est dans le plan fendu $\C\setminus\R^-$. On obtient ainsi la détermination principale du logarithme de $1-u$, correspondant à l'argument appartenant à $\left]-\pi,\pi\right[$ (rappel : pour $w$ complexe non nul, les logarithmes de $w$, c'est-à-dire les $z$ tels que $\exp z=w$, sont les $\ln|w|+\mathrm{i}\theta$ où $\theta$ est un argument de $w$).

Pourquoi ? Notons $f(u)=-\sum_{n\ge1}u^n/n$. Tu sais que $\exp f(u)=1-u$ pour $u$ réel dans $\left]-1,1\right[$. Le rayon de convergence de la série entière qui définit $\exp f(u)$ vaut au moins $1$ et, pour $u$ complexe de module $<1$, on a $\exp f(u)=1-u$ grâce au principe des zéros isolés.

Edit : ajout d'un signe dans la définition de $f$.

Pour cette somme, il faut un peu plus que la convergence dans le disque, puisque pour retrouver $\sum u^n/n$, il faut prendre $u=\mathrm{e}^{\mathrm{i}}$ qui est de module $1$. Admettons cependant que la relation soit vraie pour $u$ de module $1$ différent de $1$. Alors \[\sum_{n\ge1}\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}n}}{n}=-\log(1-\mathrm{e}^{\mathrm{i}})=-\log\left(\mathrm{e}^{\mathrm{i}/2}(\mathrm{e}^{-\mathrm{i}/2}-\mathrm{e}^{\mathrm{i}/2})\right)
=-\log\left(-\mathrm{e}^{\mathrm{i}/2}2\mathrm{i}\sin\frac12\right)\]et la partie réelle de cette expression est bien \[-\ln\left|-\mathrm{e}^{\mathrm{i}/2}2\mathrm{i}\sin\frac12\right|=-\ln\left(2\sin\frac12\right).\]