Convergence d'une suite
Soit $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ la suite définie par : $$x_{n+1}=\frac{x_n^3+4x_n}{8}\quad ; \quad x_0=a,$$ avec $a\geq 0.$
J'ai montré que $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente pour $0\leq a \leq 2$.
Est-ce que $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ convergente pour $a>2$ ?
Est-ce que ça [ceci] est correct
On a $$x_{n+1}-2=\frac{(x_n-2)(x_n+2)(x_n+1)}{8}$$ et si on suppose que $a>2$ on peut montrer facilement que $x_n>2$ ainsi $(\exists\delta >0)$ tel que $x_n\geq 2+\delta $ et $|x_{n+1}-2|\geq \frac{3\delta}{2}.$
Le dernier résultat peut-on affirmer la divergence ? (au cas $a>2)$
J'ai montré que $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est convergente pour $0\leq a \leq 2$.
Est-ce que $(x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ convergente pour $a>2$ ?
Est-ce que ça [ceci] est correct
On a $$x_{n+1}-2=\frac{(x_n-2)(x_n+2)(x_n+1)}{8}$$ et si on suppose que $a>2$ on peut montrer facilement que $x_n>2$ ainsi $(\exists\delta >0)$ tel que $x_n\geq 2+\delta $ et $|x_{n+1}-2|\geq \frac{3\delta}{2}.$
Le dernier résultat peut-on affirmer la divergence ? (au cas $a>2)$
Réponses
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Bonjour,
Non, c’est faux. Le membre de droit de l’équation est évidemment faux. Par exemple, lorsque $x_n=-1$ il s’annule et alors $x_{n+1}=2$ : mais la relation donnée par l’énoncé donne $x_{n+1}=-5/8$, non ? -
On ne peut pas prendre $x_n=-1$ car $x_n\geq 0$
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Ce serait intéressant d'étudier les variations de la suite ...
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Dans le cas où $a>2$ la suite est croissante .
mais j'ai pas réussi au majoration. -
supp
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@mohammed
Si on définit $P(x)=\frac{x^3+4x}{8}$ alors on voit que le terme $x_n$ de la suite est égal à $P^n(x_0)$ (P composé n fois avec lui même).
On a donc $x_{n+1}=P(x_n)$ ce qui implique que si la suite converge alors la limite $l$ vérifie forcément l'équation $l=P(l)$ et est une racine de $P(x)-x$.
Or $P(x)-x$ est strictement croissant pour $x>2$ (2 est une racine) et donc la suite $x_n$ est strictement croissante pour $a>2$ mais diverge (car autrement elle convergerait vers une racine de $P(x)-x$ et la plus grande racine de ce polynôme est 2).
PS. grosso modo même argument que side.
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Bonjour!
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