Polynôme et endomorphisme

3) Comme $D$ est un endomorphisme de $E$, il existe un polynôme annulateur.

4) Considère l'ensemble des polynômes $P$ tels que $P(D)=0$. Quelle est la structure de cet ensemble ? (Indication : il serait raisonnable de l'appeler $I$.) Que peut-on en déduire ? Ceci fait apparaître un élément $\mu$ de $I$. Tu pourrais essayer de montrer que $\mu(D)$ définit l'équation différentielle que tu cherches.

$I$ est un idéal. Il admet un générateur (qui est un élément non nul de degré minimal).

*On peut commencer déjà par un sous-espace fermé $E$ pour la norme infinie (sur $[0,1]$) de fonctions $\mathcal{C}^{1}([0,1],\mathbb{R}).$
On utilise le théorème du graphe fermé pour montrer que la dérivation est continue.
Ensuite, on utilise le théorème d'Ascoli pour montrer que la boule unité de $E$ est compacte.
Par le théorème de Riesz, $E$ est de dimension finie.

**Le cas dérivable se traite sensiblement de la même manière...
Pour $x\in [0,\frac{1}{2}]$ et $0<h\leq \frac{1}{2},$ on utilise les formes linéaires continues : $\displaystyle \tau_{x,h} : f \longmapsto \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.$
Remarque : Pour $x\in [\frac{1}{2},1]$ et $0<h\leq \frac{1}{2},$ on utilise les formes linéaires continues : $\displaystyle \delta_{x,h} : f \longmapsto \frac{f(x)-f(x-h)}{h}.$

Par le théorème de Banach-Steinhauss, on a alors $\vert f(x+h)-f(x)\vert \leq C_{x}h\|f\|_{\infty}$ (car $\displaystyle \lim_{h\rightarrow 0}\tau_{x,h}(f)=f'(x)$).
Par un argument de recouvrement du segment $[0,1],$ on montre à nouveau que la famille de fonctions de la boule unité de $E$ est une famille équicontinue (ponctuellement équicontinue équivaut à équicontinue pour un espace de fonctions continues définies sur un même compact).
On conclut par la combinaison du théorème d'Ascoli et du théorème de Riesz que $E$ est de dimension finie.

Je te rappelle que $E$ doit être un sev fermé de fonctions lisses (disons $\mathcal{C}^{1}$ ou dérivables) pour la norme infinie ^^

merci BobbyJoe

Tu cherches sans doute une réponse dans le programme de prépa MP...

*Pour 3), la réponse attendue est, il me semble l'évocation du théorème de Cayley-Hamilton... Le polynôme caractéristique $P$ de $D$ annule bien $D$ (il est de degré $n$ et unitaire).

**Enfin, pour 4), il suffit d'appliquer Cauchy-Lipschitz linéaire pour conclure.
En effet, toute fonction de $E$ est solution d'une équa diff linéaire, à coeff constant, homogène et d'ordre $n$ : l'ensemble des solutions d'une telle équa diff est de dimension $n.$ Par un argument de dimension, on a la conclusion désirée.

***Remarque : Il existe une variante de cet exercice où tu remplaces stable par dérivation par stable par translation.
Le but est alors de démontrer, en utilisant un peu de dualité en dimension finie, que $E$ est un ensemble de fonctions lisses puis que l'opérateur de dérivation stabilise $E,$ pour se ramener au cas précédent.