Sous-suite divergente

carle1
carle1
dans Analyse
Bonjour,
soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite non majorée, vérifier qu'elle admet une sous-suite tendant vers $+\infty.$

On a $\forall k \in \mathbb{R},~\exists n \in \mathbb{N},~u_n>k.$
Pour $k=0,$ on peut trouver $n_0 \in \mathbb{N}$ tel que $u_{n_0}>0.$
Pour la construction de l'extractrice, j'ai posé $\varphi(0)=n_0,$ et $\varphi(n+1)=\max(\inf\left\{p \in \mathbb{N}\mid u_p>n \right\},\varphi(n)+1).$
$\varphi$ est bien strictement croissante, il reste à vérifier qu'elle diverge vers l'infini, j'ai essayé de prouver que $u_{\varphi(n)}>n$
Avez-vous une idée comment ça marche ?
Merci.

Réponses

  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Ta définition de l'extractrice ne le permet pas, car il n'y a aucune raison d'utiliser $\varphi(n)+1$ dont on ne sait rien !! $u_{\varphi(n)+1}$ peut être n'importe quoi, négatif par exemple. Comme tu veux seulement éviter $\varphi(n+1)\le \varphi(n)$, tu peux fabriquer une suite extraite strictement croissante. et suffisamment vite pour qu'elle tende vers l'infini.

    Cordialement.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Bonjour,
    Malgré quelques imprécisions tu es sur la bonne voie. Ce qu’il te manque je crois c’est de remarquer que tu as en stock pour tout $A>0$ une infinité de $m$ tels que $u_m\geq A$. Une fois que tu l’auras remarqué, tu pourras construire ton extractrice plus serainement.
  • Boole et Bill
    Boole et Bill
    Peut être que les ensembles $A_n = \{m\in \N \mid u_m\geq n \}$ te seront utiles pour y voir pus clair aussi.
  • aléa
    aléa
    Ta définition peut se réécrire $\varphi(n+1)=\inf\left\{p\ge\varphi(n)+1\mid u_p>n \right\}$ et alors ce sera plus clair pour voir ce qu'on peut espérer.
    Il faut quand même vérifier que $\varphi(n+1)<+\infty$ (c'est-à-dire $\left\{p\ge\varphi(n)+1\mid u_p>n \right\}\ne\varnothing)$.
  • carle1
    carle1
    @aléa je pense qu'on n'a pas en général $\inf(A \cap B)=\max(\inf(A),\inf(B))$.
    Mais, votre construction marche bien, en effet une suite est majorée si et seulement si elle [est] majorée à partir d'un quelques rang.

    Alors l'hypothèse devient : $$
    \forall k \in \mathbb{R},~\forall n \in \mathbb{N},~\exists p \in \mathbb{N},~p \geq n \text{ et } u_p>n.
    $$ i.e $\left\{p \in \mathbb{N}\mid p \geq n\text{ et } u_p>k \right\}$ n'est pas vide et on peut définir $\xi(k,n)=\inf\left\{p \in \mathbb{N}\mid p \geq n+1 \text{ et } u_p>k \right\}$ pour $k,n \in \mathbb{N}$.
    Par suite $\varphi$ devient $\varphi(0)=n_0$ et $\varphi(n+1)=\xi(n,\varphi(n))$ pour $n \in \mathbb{N}.$

    Si on veut travailler sur l'hypothèse : $$

    \forall k \in \mathbb{R},~\exists n \in \mathbb{N},~u_n>k
    $$ et on définit $\phi(0)=n_0$ (pour $k=0$) et $\phi(n+1)=\inf \left\{p \in \mathbb{N}\mid u_p>\max(n,u_{\phi(n)}) \right\}$

    Alors par la définition de $\phi$ on déduit que $\phi(n+1) \neq \phi(n),$ mais pourquoi a-t-on $\phi(n+1)>\phi(n) $ ?
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