Normes entières en dimension 2
Bonjour,
J'ai récemment assisté à un oral de l'ENS Lyon qui parlait des normes entières, l'objectif étant de caractériser toutes les normes $N$ de $\mathbb{R}^2$ telles que $N(\mathbb{Z}^2)\subseteq\mathbb{N}$.
Le résultat final étant de montrer qu'elles s'écrivent sous la forme $N(x,y) = \max \{ |a_i x + b_i y|, 1\le i\le n\}$ où $n\ge 2$ et les $(a_i,b_i)$ ne sont pas tous proportionnels à un même vecteur (pour assurer que ce soit bien une norme).
Étant donné la difficulté de l'exercice, l'examinateur n'attendait évidemment pas que l'élève termine l'exo. Je suis donc intéressé par de la bibliographie sur le sujet, des extensions de ce résultat (généralisation en dimension $n$ ?) et des applications.
Merci d'avance !
J'ai récemment assisté à un oral de l'ENS Lyon qui parlait des normes entières, l'objectif étant de caractériser toutes les normes $N$ de $\mathbb{R}^2$ telles que $N(\mathbb{Z}^2)\subseteq\mathbb{N}$.
Le résultat final étant de montrer qu'elles s'écrivent sous la forme $N(x,y) = \max \{ |a_i x + b_i y|, 1\le i\le n\}$ où $n\ge 2$ et les $(a_i,b_i)$ ne sont pas tous proportionnels à un même vecteur (pour assurer que ce soit bien une norme).
Étant donné la difficulté de l'exercice, l'examinateur n'attendait évidemment pas que l'élève termine l'exo. Je suis donc intéressé par de la bibliographie sur le sujet, des extensions de ce résultat (généralisation en dimension $n$ ?) et des applications.
Merci d'avance !
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Ensuite on peut utiliser la finitude des entiers pour trouver tous les $u_i \in \Bbb{Z}^2, 3 \le i \le n$ tels que $\forall v \in \Bbb{Z}^2, N(d v) \ge |u_i^\top v|$, finitude des entiers qui donne que $j$ est fini.
Comment tu fais pour montrer que $\forall v \in \Bbb{Z}^2, N(dv) = \sup \{ |u_i^\top v|, i \le n\}$ ?
Sinon je pourrais essayer de dire que pour tout $v_0$ il existe une forme linéaire $\Bbb{Q}^2 \to \Bbb{Q}, v \mapsto w^\top v$ telle que $N(v) \le |w^\top v|$ et $ N(v_0) = |w^\top v_0|$ :
Dans $\Bbb{Q}^3$ soit $S =\{ (c v_0,c N(v_0)), c \in \Bbb{Q}\}$ et $C = \{ (v,t), t < N(v)\}$. Alors $C$ est convexe et $S$ est un sous-espace disjoint donc il existe un hyperplan $H= \{ (v,t), w^\top v+rt = 0\}$ contenant $S$ et disjoint de $C$, donc $w^\top v_0 = -r N(v_0)$, $|\frac{w^\top}{r} v_0| = N(v_0)$ et $\forall v, |\frac{w^\top}{r} v| \le N(v)$.