Une intégrale

J'ai raconté n'importe quoi. Le changement de variable que j'ai préconisé ne vaut pas tripette ici.
le changement de variable $y=\tan x$ est appropriée et on se ramène au calcul de:
\begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\ln(\cos x)\,dx\end{align}
qui est calculable sans rien intégrer en utilisant des identités trigonométriques.


On peut aussi procéder en introduisant la fonction définie pour $a\geq 0$ par:
\begin{align}F(a)&=\int_0^\infty \frac{\ln(1+a^2x^2)}{1+x^2}\,dx\\
F(0)&=0\\
F(1)&=\int_0^\infty \frac{\ln(1+x^2)}{1+x^2}\,dx\\
F^\prime(a)&=\int_0^\infty \frac{2ax^2}{(1+x^2)(1+a^2x^2)}\,dx\\
&=\left[2a\left(\frac{\arctan x}{a^2-1}-\frac{\arctan(ax)}{a(a^2-1)}\right)\right]_{x=0}^{x=\infty}\\
&=\frac{\pi}{1+a}\\
F(a)-F(0)&=\pi\int_0^a \frac{1}{1+a}\,da\\
F(a)&=\pi \ln(1+a)\\
F(1)&=\pi \ln 2
\end{align}

Gebrane:

Je sais mais mon avant-dernier message rectifie en quelque sorte cette coquille.
Je pense qu'initialement j'ai lu dans l'intégrale proposée $1+\dfrac{1}{x}$ au lieu de ce qui est écrit réellement: $x+\dfrac{1}{x}$. Je me suis laissé fortement influencé par le résultat donné.

Qu'on se rappelle que: $\displaystyle \int_0^1 \frac{\ln(1+x)}{1+x^2}\,dx=\frac{\pi}{8}\ln 2$


PS:
J'ai testé le changement de variable $y=x+\dfrac{1}{x}$ cela ne donne pas un calcul plus simple.

L'insertion d'un paramètre est un outil qui fait des miracles parfois.

Exemple:
\begin{align}\int_0^1 \frac{x-1}{\ln x}\,dx\end{align}

Raoul.S:

Très efficace parfois/souvent.

Je te propose deux intégrales supplémentaires à calculer en utilisant cette méthode.
L'application du procédé peut être (un peu) astucieuse:
\begin{align}J&=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{x}{\tan x}\,dx\\
K&=\int_0^1 \frac{\arctan\left(\sqrt{x^2+2}\right)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+2}}\,dx
\end{align}

Gebrane:

C'est difficile à dire que cette méthode échoue alors que son application peut être astucieuse.

Je ne prétends pas savoir calculer pour tout $n$ l'intégrale que tu exhibes mais il y a surement beaucoup de façons de faire apparaître un paramètre. On peut considérer que $n$ est un paramètre réel par exemple

@FDP
Je vais essayer de résoudre la $J$. Mais là je n'ai pas le temps.
Je vais essayer avec $$

F(t)=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\frac{\arctan\left(t\tan(x)\right)}{\tan\left(x\right)}\,dx \ldots

$$ À voir.

FDP a écrit:

Bravo ! Cette réécriture fonctionne très bien.

Cool, du coup je ne vais pas me taper tous les calculs vu que tu me confirmes que ça fonctionne... après une journée de boulot abrutissant je suis crevé. :-o