Intégrales impropres : écriture

Oui, pourquoi pas ? Parce que le point singulier n'est pas au bord de l'intervalle d'intégration ? Pour Lebesgue, pas de problème. Pour le point de vue "intégrales généralisées", c'est une extension de la notation habituelle. Cependant, dans la mesure où toutes les intégrales que l'on imagine convergent au sens de Riemann, je ne vois pas de problème.

Tu dois vérifier l'intégrabilité en $0$.

L'idée de la valeur principale, c'est que l'intégrale est divergente mais que l'intégrale sur un intervalle symétrique $\int_{-\epsilon}^\epsilon$ a une limite lorsque $\epsilon$ tend vers $0$. Ce n'est pas ce qui se passe dans les exemples que tu as proposés, où $\int_{-1}^0$ et $\int_0^1$ sont (absolument) convergentes.