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Je veux une intégrale !

Envoyé par gebrane 
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
$I$ est classique et s'exprime avec $\gamma$.

$J$ l'est moins, elle s'exprime avec $\gamma$ et $\gamma_1$ (constante de Stieltjes).
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
C'est exact, et les méthodes de démonstrations de l'une et l'autre sont similaires. J'ajoute que la première est utilisée dans le calcul de la seconde.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Bonjour,

De tête pour ne pas tout gâcher à ceux qui veulent trouver : pour $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} {\psi(x) \over x^2} dx$ avec $\displaystyle \psi(x) = x-E(x)-1/2$ on utilise la relation de Chasles : $\displaystyle \int_{1}^{+\infty} \leadsto \sum_{n \geq 1} \int_{n}^{n+1}$ et on intègre sans peine ; pour sommer la série, on ouvre les yeux pour trouver deux termes télescopiques (un logarithmique, un fractionnaire) et ceux qui restent sont d'abord sommer de $1$ à $\displaystyle N \geq 1$, puis on fait tendre $N$ vers l'infini... résultat classique sur la somme des inverses des nombres entiers non nuls.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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@jandri
As-tu une de belle à nous proposer ?
Je vous propose de calculer astucieusement $$
\int_0^{+\infty} \sin(x^2)dx =\frac 12\sqrt{\frac{\pi}2}.

$$ Ma favorite : montrer que $\forall t>0$, $$
\int_0^1 \ln\Big(\frac{\Gamma(x+t)}{\sqrt{2\pi}}\Big) dx=t\ln(t)-t
$$ (le résultat est donné pour vérifier seulement vos calculs).

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par AD.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
Attention à l'emploi abusif du vocable "classique"...Certes, l'intégrale
$$\int_1^\infty \frac{\psi(x)}{x^2} \, \textrm{d}x = \frac{1}{2} - \gamma$$
est indéniablement "classique" pour un arithméticien, sans doute aussi pour un analyste. Et d'ailleurs l'autre intégrale
$$J = \int_1^\infty \frac{\psi(x) \log x}{x^2} \, \textrm{d}x$$
est tout aussi classique chez nous, tout comme toute intégrale de ce type, comme peut l'être par exemple l'intégrale
$$\int_1^\infty \frac{\psi_2(x)}{x^3} \, \textrm{d}x = \frac{1}{4} - \frac{\gamma}{2}$$
où $\displaystyle \psi_2(x) := \int_0^x \psi(t) \, \textrm{d}t = \frac{\psi(x)^2}{2} - \frac{1}{8}$.

En revanche, elle l'est certainement beaucoup moins pour quiconque n'ayant pas eu affaire à ce résultat qui, somme toute, n'est pas d'un si grand intérêt.

J'ai donné la réponse pour $I$, je ne l'ai pas donnée pour $J$, si jamais des intervenants sont volontaires, sachant que $I$ sert pour $J$...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par noix de totos.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
Un petit calcul de primitive pris dans un bouquin paru en 1905.

Calculer
$$\int\frac{4t^9+21t^6+2t^3-3t^2-3}{(t^7-t+1)^2}\,dt.$$

Bien sûr, on peut être tenté par la décomposition en éléments simples, mais est-ce bien raisonnable ?
Et en 1905, il n'y avait pas de logiciel de calcul formel pour vous donner la solution ...
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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@Eric

C'est simple avec la methode d'Ostrogradsky
voici un exemple [www.nabla.hr]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
Exact, c'est bien de la méthode d'Ostrogradski qu'il s'agit. L'exemple que j'ai donné vient du bouquin de Hardy, Integration of functions of a single variable.
[archive.org]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
Avant que ce sujet ne tombe dans l'oubli et que je ne l'oublie moi-même, voici une réponse concernant l'intégrale $J$ ci-dessus. Je rappelle que $\lfloor t \rfloor $ désigne la partie entière de $t \in \mathbb{R}$. Par sommation partielle, pour tout $x \geqslant 2$

\begin{align*}
\sum_{k \leqslant x} \frac{\log k}{k} &= \sum_{2 \leqslant k \leqslant x} \frac{\log k}{k} = \int_1^x \frac{\log t}{t} \, \textrm{d} \lfloor t \rfloor\\
&= \int_1^x \frac{\log t}{t} \, \textrm{d} t - \int_1^x \frac{\log t}{t} \, \textrm{d} \psi(t) \\
&= \tfrac{1}{2} (\log x)^2 - \left( \left[ \frac{\psi(t) \log t}{t} \right]_1^x + \int_1^x \frac{\log t - 1}{t^2} \, \psi(t) \, \textrm{d}t \right)
\end{align*}
et donc
$$ \sum_{k \leqslant x} \frac{\log k}{k} - \tfrac{1}{2} (\log x)^2 = - \frac{\psi(x) \log x}{x} - \int_1^x \frac{\log t - 1}{t^2} \, \psi(t) \, \textrm{d}t.$$
On fait alors tendre $x$ vers $\infty$. Le membre de gauche tend par définition vers $\gamma_1 \approx - 0,07 \, 281 \dotsc$ la $1$ère constante de Riemann-Stieltjes, tandis que le membre de droite tend vers $I-J$, d'où
$$J = I - \gamma_1 = \tfrac{1}{2} - \gamma - \gamma_1 \approx - 0,150 \, 031 \dotsc$$
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Je vous propose de démontrer que:

\begin{align}\int_0^\pi e^{\cos x}\cos(x-\sin x) dx=\pi\end{align}

Mais attention, on ne s'autorise pas l'usage de nombres complexes et du théorème des résidus (autrement ce serait trop facile). Je ne mets aucune autre restriction.

NB:
Je suis convaincu que c'est possible bien que je n'ai pas encore finalisé le calcul qui je pense permet en respectant "le cahier des charges" que je me fixe de prouver ce résultat.

PS:
On n'a pas non plus recours à des propriétés qui dissimulent l'usage du théorème des résidus, de nombres complexes pour être démontrées.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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FDP
Pourquoi tu nous interdit les complexes grinning smiley

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Gebrane:
C'est beaucoup plus amusant comme ça. cool smiley
Je pense (ce n'est pas seulement en levant un doigt mouillé, j'ai entamé cette escalade de la face nord) que c'est tout à fait possible.

NB:
Je calcule lentement. Il est fort possible que quelqu'un me double dans cette ascension. (et mon employeur ne me paie pas pour calculer des intégrales, hélas). smoking smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Dans le lien que j'ai donné les complxes simplifiant vraiment la tache
Ok pour ton cahier de charge

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Gebrane:
Tu vas aimer le voyage. smoking smiley

NB:
Une indication: Maman les p´tits bateaux hot smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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edit j'ai mélangé mes pinceaux

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par gebrane.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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J'ai presque terminé l'ascension de la face nord. smiling smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Bonjour,
J'ai un problème dans mes calculs et j'ai la tête comme une pierre ce matin
Je pose $I(a)=\int_0^\pi e^{a\cos x}\cos(x-a\sin x) dx$
On a $$I'(a)=\int_0^\pi e^{a\cos x}\big[\cos(x)\cos(x-a\sin x) +\sin(x)\sin(x-a\sin x)\big]$$
On peut transmormer en remarquant que
$$\frac{\partial }{\partial x} (e^{a\cos x}\sin(x-a\sin x))=e^{a\cos x}
\cos(x-a\sin x)-ae^{a\cos x}\big[\cos(x)\cos(x-a\sin x) +\sin(x)\sin(x-a\sin x)\big] $$
et en integrant
$$\int_0^\pi \frac{\partial }{\partial x} (e^{a\cos x}\sin(x-a\sin x))dx=\int_0^\pi e^{a\cos x}
\cos(x-a\sin x)dx-a\int_0^\pi e^{a\cos x}\big[\cos(x)\cos(x-a\sin x) +\sin(x)\sin(x-a\sin x)\big] dx $$
ce qui donne $0=I(a)-aI'(a)$ ce qui est contradictoire avec $I(0)=0$

edit il n y a pas de contradiction, j’étais assommé et ca donne $I(a)=k.a$

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par gebrane.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
Déjà même avec les complexes je ne vois pas...fonctions de Bessel ??
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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@totem
T'es aveugle ou quoi? j'ai donnée plusieurs façons avec les complexes

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Gebrane:

Je ne vois pas dans cette égalité $0=I(a)-aI'(a)$ de contradiction avec le fait que $I(0)=0$.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Par ailleurs, \begin{align}\cos(x)\cos(x-a\sin x) +\sin(x)\sin(x-a\sin x)&=\cos\Big(x-(x-a\sin x)\Big)\\
&=\cos(a\sin x)
\end{align}
me semble-t-il.

Ce qui fait que: $\displaystyle I^\prime (a)=\int_0^\pi \text{e}^{a\cos x}cos(a\sin x)\,dx$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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L'égalité semble vraie: $I(a)=aI'(a)$

[www.wolframalpha.com]
[www.wolframalpha.com]

Une deuxième série de valeurs:
[www.wolframalpha.com]
[www.wolframalpha.com]

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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a editer

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Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par gebrane.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
@gebrane : probablement...c'est où ??confused smiley
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Avec ton message, [www.les-mathematiques.net] la question est résolue, car $I''(a)=0$ ( je l'avais fait hier) et donc $I'(a)= constante=I'(0)=\pi$ et donc $I(a)=a\pi+c$ or $I(0)=0$ donc $c=0$ donc donc $$I(a)=a\pi$$ notre cas c'est a=1
Youppi

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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@totem
clique sur le visage souriant de mon premier message

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Gebrane:

J'aurais aimé trouver cette solution. Elle est superbe. smiling smiley
J'avais pensé à utiliser un paramètre mais je l'avais mis qu'à la gauche du $\sin x$ grinning smiley
Quoiqu'il en soit je pense que j'ai une autre solution très différente. smoking smiley

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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C'est grâce à ton message Une indication: Maman les p´tits bateaux hot smiley que j'ai eu l'idée de dérivation: De loin un bateau à voile ressemble à un croissant de lune donc une ' donc une dérivation

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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$$\int_{0}^{+\infty} \left( \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{e^x - 1}\right)^2 \, \mathrm{d}x$$

Prouver que l'intégrale est convergente et calculer sa valeur (qui s'exprime simplement en fonction de constantes très connues). Toute technique autorisée (mais pour que vous ne partiez pas dans n'importe quelle direction, sachez tout de même qu'il existe une solution "élémentaire").



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par skyffer3.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Gebrane:

Tu prouves qu'on peut lire ce qu'on veut dans une phrase cryptique comme celle-ci. grinning smiley

Cette phrase appartient à une comptine pour enfants:

Citation
Comptine
Maman les p´tits bateaux
Qui vont sur l´eau
Ont-ils des jambes?
Mais non, mon gros bêta
S´ils en avaient, ils marcheraient!

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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@Skyffer
Toi je t'aime bien, tu nous autorise tout
Merci

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Gebrane:

De $I(a)=aI^\prime (a)$ on prouve par dérivation que $aI^{\prime\prime}(a)=0$
et on peut en déduire que pour $a>0,I^{\prime\prime}(a)=0$. Le problème est pour la valeur $a=0$ me semble-t-il.

PS:
Un calcul direct permet de montrer, me semble-t-il, que $I^{\prime\prime}(0)=0$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Avec ma méthode initiale De $I(a)=aI^\prime (a)$ on trouve ( c'est une équation du premier ordre ) $I(a)=K.a$et il n y a pas de contradiction avec$I(0)=0$
Commet chercher le k ? (si on ne voit pas que $i'(a)=$cst)

edit PS j'ai démontre que $I''(a)=0$ en dérivant directement $I'(a)$

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par gebrane.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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On sait que $I^{\prime \prime}(a)=0$ pour tout $a$ réel donc $I^\prime (a)$ est constant.

On a précisément:
\begin{align}I^{\prime \prime}(a)&=\int_0^\pi e^{a\cos x}\cos(x+a\sin x) dx\\
I^\prime(a)&=\int_0^\pi e^{a\cos x}\cos(a\sin x) dx\\
I^\prime(0)&=\pi\\
I(0)&=0\\
\end{align}

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Tu n'as pas compris ce que j'ai voulu dire
Hier quand j'ai obtenu $I(a)=aI'(a)$ il m'a semblé que c'est contradictoire avec $ I(0)=0$ le blême c'est que j'avais noté que $I(a)=c.a$ et je ne sais pas pour quelle raison, ça me semblais contradictoire. Le pire, (hier) je ne voyais pas comment trouver le $c$ ( l idée de voir que $I'(a)$ est constant m'a échappée hier)
Pour celui de Skyffer
tu fais les calculs et je fais la convergence ca marche?

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par gebrane.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Gebrane:
Je ne suis pas fan des intégrales dans lesquelles interviennent la constante d'Euler ou autres constantes de Stieltjes.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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FDP

Donne moi le résultat de l'intégrale de Skyffer ( wolphi ne me dit rien )
IL y a jandri qui aime ces constantes ( sauf si)

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par gebrane.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
L'intégrale de skyffer3 vaut $\ln(2\pi)-\gamma-\dfrac12$.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Jandri Merci pour la réponse

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Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Bonjour
Est ce que quelqu'un a trouvé une solution à la question de skyffer?. je n'ai pas encore regardé par manque du temps. Cela va m'encourager si quelqu’un a réussi .

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Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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La preuve promise,

\begin{align}\int_0^\pi \text{e}^{\cos x}\cos(x-\sin x) dx&=\int_0^\pi\text{e}^{\cos x}\cos x\cos(\sin x)dx+\int_0^\pi\text{e}^{\cos x}\sin x\sin(\sin x)dx\\
&=\Big[\sin(\sin x)\text{e}^{\cos x}\Big]_0^\pi+2\int_0^\pi\text{e}^{\cos x}\sin x\sin(\sin x)dx\\
&=2\int_0^\pi\text{e}^{\cos x}\sin x\sin(\sin x)dx\\
&=2\int_0^\pi\cosh(\cos x)\sin x\sin(\sin x)dx+2\int_0^\pi\sinh(\cos x)\sin x\sin(\sin x)dx\\
&=2\int_0^\pi\cosh(\cos x)\sin x\sin(\sin x)dx\\
&=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cosh(\cos x)\sin x\sin(\sin x)dx\\
&=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}\left(\left(\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n\sin^{2n+2}x}{(2n+1)!}\right)\left(\sum_{m=0}^\infty\frac{\cos^{2m} x}{(2m)!}\right)\right)\,dx\\
&=4\sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{j=0}^n\frac{(-1) ^j}{(2j+1)!(2(n-j))!}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2j+2}x\cos^{2(n-j)}x\,dx\right)
\end{align}
Pour $p,q$ entiers,
\begin{align}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2p}x\cos^{2q}x\,dx&=\frac{1}{2}\text{B}\left(p+\frac{1}{2},p+\frac{1}{2}\right)\\
&=\frac{1}{2}\frac{\Gamma\left(p+\frac{1}{2}\right)\Gamma\left(q+\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(p+q+1\right)}\\
&=\frac{\pi}{2}\times \frac{(2p)!(2q)!}{2^{2(p+q)}(p+q)!p!q!}
\end{align}
Ainsi, pour $n\geq 0$, entier,
\begin{align}C_n&=\sum_{j=0}^n\frac{(-1) ^j}{(2j+1)!(2(n-j))!}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\sin^{2j+2}x\cos^{2(n-j)}x\,dx\\
&=\frac{\pi}{2^{2(n+1)}(n+1)!}\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^j}{j!(n-j)!}\\
&=\frac{\pi}{2^{2(n+1)}(n+1)!n!}\sum_{j=0}^n\frac{(-1)^jn!}{j!(n-j)!}\\
&=\frac{\pi}{2^{2(n+1)}(n+1)!n!}\sum_{j=0}^n (-1)^j\binom{n}{j}
\end{align}
Remarquer que, $C_0=\dfrac{\pi}{4}$ et, pour $n>0$, entier,
\begin{align}C_n&=\frac{\pi}{2^{2(n+1)}(n+1)!n!}(-1+1)^n\\
&=0
\end{align}
Finalement,
\begin{align}\int_0^\pi \text{e}^{\cos x}\cos(x-\sin x) dx&=4\times \frac{\pi}{4}\\
&=\boxed{\pi}
\end{align}
NB:
Pour $n\geq 0$, entier
\begin{align}\Gamma\left(n+\frac{1}{2}\right)=\frac{(2n)!}{2^{2n}n!}\sqrt{\pi}\end{align}
Pour $x$ réel,
\begin{align}\cos(\pi-x)=-\cos x\\
\sin(\pi-x)=-\sin x\\
\end{align}
$\text{B}$ désigne la fonction Bêta d'Euler.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a sept semaines et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Merci Aussi belle
je vais mettre la mienne au dessous de la tienne sur ME

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Gebrane:

Je préfère ta solution ;)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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C'est fait
J'ai besoin de quelques Up grinning smiley

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Gebrane:
Je t'ai apporté ma contribution ;)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Merci, moi aussi j'avais fait de même
j'espere ne pas subir des "downs-votes"

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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FDP
Ce qui est drôle dans cette preuve, c'est que pour prouver le cas particulier a=1, on passe par le cas général a quelconque.
Les mathématiques sont folles !

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Gebrane:
C'est un phénomène courant en mathématiques. Démontrer un résultat dont la démonstration d'une généralisation est plus simple à établir.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Gebrane: ta preuve est géniale mais elle ne déchaine pas pour le moment un torrent d'enthousiasme.
Ce sont les joies de M.E. Tu passes du temps à chercher une solution, tout le monde s'en fiche. grinning smiley
(cela doit manquer d'imaginaire ou c'est une preuve pas assez prétentieuse et pédante)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Je veux une intégrale !
il y a sept semaines
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Si vous aimez les intégrales avec des logarithmes:
Prouvez que:
\begin{align}\int_0^1 \frac{\ln^2(1+x)}{x(1+x^2)}\,dx=\frac{1}{4}\zeta(3)-\frac{1}{24}\ln^3 2-\frac{1}{96}\pi^2\ln 2\end{align}

NB:
J'ai obtenu cette "égalité" empiriquement. Je n'ai pas de preuve à cette heure.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



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