Je veux une intégrale !

Gebrane: je peux jeter un coup d'oeil en journée à ce qui se passe sur le forum mais pas passer trois heures à rechercher des messages. Autrement Blanquer va me tirer les oreilles. :-D

Merci a Fdp, gebrane et jandri qui ont gentiment corrige mes erreurs. Voici le detail.



On va utiliser $$e^x-1-x=\int_0^x(x-t)e^tdt=x^2\int_0^1(1-u)e^{ux}du=e^xx^2\int_0^1ue^{-ux}du,$$ pour $x>0$ $$\frac{1}{(1-e^{-x})^2}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)e^{-nx}$$ et $$a_n=\int_0^1\int_0^1\frac{1}{(n+u+v)^3}uvdudv=\frac{1}{2(n+2)}+\frac{n}{2}\log\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)$$ On peut alors montrer que l'integrale de skyffer est egale a $-\gamma+\log (2\pi)-\frac{1}{2}$ ou $\gamma$ est la constante d'Euler:




\begin{eqnarray*}I&=&\int_{0}^{\infty}\left[\frac{1}{x}-\frac{1}{e^x-1}\right]^2dx\\&=&\int_{0}^{\infty}\frac{x^2e^{-{2x}}}{(1-e^{-x})^2}\left[\int_0^1(1-u)e^{ux}du\int_0^1(1-v)e^{vx}dv\right]dx\\&=&\int_{0}^{\infty}\frac{x^2}{(1-e^{-x})^2}\left[\int_0^1ue^{-ux}du\int_0^1ve^{-vx}dv\right]dx\\&=&\int_0^1\int_0^1\left[\sum_0^{\infty}(n+1)\int_0^{\infty}x^2e^{-x(n+u+v)}dx\right]uvdudv\\&=&2\int_0^1\int_0^1\left[\sum_0^{\infty}\frac{n+1}{(n+u+v)^3}\right]uvdudv\\&=&2\sum_0^{\infty}(n+1)a_n=\frac{1}{2}+\lim_N\sum_{n=1}^N(n+1)a_n\\&=&\lim_N\left(2\log N!+N(N+1)\log(N+2)-N(N+3)\log(N+1)+\sum_{n=0}^N\frac{n+1}{n+2}\right)\\&\stackrel{(*)}{=}& \left[\log N-\sum_{n=0}^N\frac{1}{n+2}\right]+1+\log (2\pi)
+b_N+o(1)\end{eqnarray*}
ou (*) utilise Stirling (d'ou l'arrivee de $\log (2\pi)$ dans le resultat final) et ou $$b_N=2N\log \frac{N}{N+1}+N(N+1)\log \frac{N+2}{N+1}-N\to_{N\to\infty}-\frac{5}{2}.$$ En resume
$$I=-\gamma+\log (2\pi)-\frac{1}{2}.$$

Un petit mélange des genres (i.e. $4$-some entre pistaches, noix de cajou, pécan et cacahuètes) : $\displaystyle{\int_0^{+\infty} \frac{\cos(2tx)}{\cosh^2 x} dx}$ pour $t \in \mathbb{R}$ ?

Il suffit de faire marcher l'inversion de Fourier puisque $$\frac{1}{\cosh^2 x}=\int_{-\infty}^{\infty}e^{itx}\frac{t}{2\sinh (\pi t/2)}dt.$$ Non plus serieusement, tu fais le changement de variable $u=e^x$ et tu tombes sur une integrale eulerienne. Et l'inersion de Fourier te donnera en plus la formule ci dessus.

Bonjour,
ça ressemble à la formule des compléments... est-ce qu'il y aurait un lien ?
bonne journée

Gebrane:

Quelle démonstration? Je suis un peu à l'ouest ce soir (c'était le grand "ménage" d'été au boulot)

Gebrane:
Je ne veux pas enlever le plaisir de calculer cette intégrale aux lecteurs de l'AMM donc je publierai une solution plus tard.

Je vous propose aujourd'hui un défi.
Montrer que : \begin{align}\int_0^\infty \frac{\ln\left(1+x-\sqrt{2x}\right)}{1+x^2}\,dx=0.

\end{align} Mais attention, en utilisant mon cahier des charges habituel : seulement des changements de variable dans des intégrales non multiples et le procédé d'intégration par parties sont autorisés.
Tout ce qui revient à utiliser une intégrale multiple est proscrit.

Je vous avertis que je n'ai pas de solution qui respecte mes indications* et que je commence à douter qu'on puisse obtenir une telle solution. Mais il y a des trucs "cool" qui apparaissent quand on cherche à calculer cette intégrale.
Détrompez-moi, je vous en remercie d'avance.

* : mais j'ai une solution qui ne le respecte pas.

Etanche: Ma solution n'utilise pas des trucs aussi compliqués mais pourquoi pas, il faut voir.

Le seul truc compliqué que j'utilise est $\text{Li}_4(1)=\dfrac{\pi^4}{90}$