Bonjour chers amis :
Quelle est la relation entre la définition topologique de la continuité d'une fonction (l'image réciproque d'un fermé resp un ouvert est un fermé resp un ouvet) et la définition de la continuité du lycée la limite en un point égale l'image ?
Merci
Réponses
Soit $f$ une fonction réelle de la variable réelle continue au sens topologique. Montrons que $f$ est continue au sens séquentiel. Soit $x\in \R$ et soit $(x_n)$ une suite réelle de limite $x$. Soit $\varepsilon >0$. Par hypothèse, $I=f^{-1}(]f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon[)$ est un ouvert de $\R$ et contient $x$. Il existe donc $\delta>0$ tel que $J=]x-\delta,x+\delta[\subset I$. Comme $x_n$ tend vers $x$, il existe $N$ un entier tel que pour tout $n$ supérieur à $N$, $x_n\in J$, et alors $f(x_n)\in ]f(x)-\varepsilon,f(x)+\varepsilon[$, c’est-à-dire $|f(x)-f(x_n)|<\varepsilon$.
Réciproquement, on suppose que $f$ est continue au sens sequentiel. Soit $I$ un intervalle ouvert de $\R$ (il suffit de considérer les intervalles car ils engendrent la topologie de $\R$). On va montrer que $J=\R \backslash f^{-1}(I)$ est fermé. Soit $(x_n)$ une suite de $J$ qui converge vers un point $x$. Alors $f(x_n)$ tend vers $f(x)$. Comme $\R\backslash I$ est fermé et que $f(x_n)\in \R\backslash I$ Pour tout $n$, $f(x)\notin I$ c’est à dire $x\in J$.
Edit : pas besoin de se restreindre aux intervalles dans la deuxième partie, je ne l’ai pas utilisé
Soit $f:E \to \mathbb{R}$
1) Topologiquement continue implique séquentiellement continue.
Supposons $f$ topologiquement continue, soit $(x_n)$ une suite d'éléments de $E$ qui converge vers $x\in E$
Quelque soit l'ouvert $O$ contenant $f(x)$, alors $f^{-1}(O)$ est un ouvert qui contient $x$, donc tout les $x_n$ à partir d'un certain rang noté $N$. Donc $O$ contient tout les $f(x_n)$ à partir du rang $N$.
Ceci entraine que $f(x_n) \to f(x)$
Ainsi, topologiquement continue implique séquentiellement continue
2) Séquentiellement continue implique topologiquement continue
On montrera la contraposée
Soit $O$ un ouvert de $\mathbb{R}$ tel que $f^{-1}(O)$ n'est pas ouvert,
Il existe donc $x \in E$ tel que quelque soit $\epsilon > 0$, $B(x, \epsilon)$ n'est pas inclue dans $f^{-1}(O)$. On peut donc construire une suite $x_n$ telle que :
i) $|x_n - x| \leq \frac{1}{n}$
ii) $x_n \not\in f^{-1}(O)$
C'est à dire $x_n \to x$ et $f(x_n) \not \in O$
Donc $f(x_n)$ ne converge pas vers $f(x)$ et ainsi $f$ n'est pas séquentiellement continue
Edit : j'ai visiblement un peu trainé à la rédaction de mon message...