Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
205 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Limite d'une suite

Envoyé par Tyoussef 
Limite d'une suite
il y a deux mois
Bonjour ou bonsoir (voir l'heure) $$

L =\lim_{n\mapsto +\infty} \left( \frac{n}{n^3+1}+ \frac{2n}{n^3+2} + \frac{3n}{n^3+3}+\cdots+ \frac{n.n}{n^3+n}\right) .



$$ Calculer $L$.
Merci d'avance.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Limite d'une suite
il y a deux mois
avatar
c'est 1/2
On en a parlé mais où je me rappelle plus

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Limite d'une suite
il y a deux mois
$@gebrane$

Oui c'est j'ai fait un calcule et j'ai remarqué que : $$0<L<1$$
Re: Limite d'une suite
il y a deux mois
$@AD$
L'absence est dû à la maladie, longue vie à tous.

[confused smiley Content cependant de te savoir en meilleure forme smiling smiley. AD]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Limite d'une suite
il y a deux mois
Bonjour,

$S_n$ terme général de la suite. Une majoration donne $kn/(n^3+k) < k/n^2$ puis $S_n < (1/2+1/(2n))=T_n$.
Compte-tenu des ordres de grandeurs on pense avoir une très bonne estimation. On peut essayer de trouver un minorant explicite (plusieurs méthodes possibles) mais ce n'est pas vraiment nécessaire.

Soit $\epsilon >0$, on a pour $n$ assez grand, on a $\forall k \in [1;n], n^3+k<(1+\epsilon) n^3$ et donc $1/(1+\epsilon) T_n < S_n < T_n$ et on déduit facilement que $S_n$~$T_n$~$1/2$.
Re: Limite d'une suite
il y a deux mois
avatar
@side
Tu triches ! non
Ton T_n tombe du ciel sauf si on t’a-siffler la limite de la suite

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Limite d'une suite
il y a deux mois
Bonsoir,

La somme de $k=1$ à $n$ c'est classique...

Ah moins que ce soit pour l'ordre de grandeur ? Si on ne voit pas les ordres de grandeurs (ici c'est $k$ négligeable uniformément devant de $n^3$) on peut faire d'autres méthodes comme comparaison somme /intégrale ou utiliser une minoration de $1/(1+x)$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Re: Limite d'une suite
il y a deux mois
Tous les dénominateurs sont compris entre $n^3$ et $n^3+n$. Cela donne un encadrement par deux suites qui se calculent aisément et qui ont la même limite.
Re: Limite d'une suite
il y a deux mois
Bonjour à tous
je vous propose ce raisonnement pour calculer la limite de la suite
$ \Large u_{n}= \frac{n}{n^{3}+1}+ \frac{2n}{n^{3}+2}+...+\frac{n.n}{n^{3}+n}$
on a :
$

\Large


u_{n} = \frac{1}{n^{2}}.
\sum_{k=1}^{n} \frac{k}{1+\frac{k}{n^{3}}} \\
sachant~~ que:
\frac{1}{1+\frac{k}{n^{3}}} = \int_{\frac{1}{2}}^{1+\frac{k}{n^{3}}} \frac{-dx}{x^{2}} ~~+2\\
alors: ~~ u_{n}= \frac{1}{n^{2}}.\left(
\sum_{k=1}^{n} k\left(\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{-dx}{x^{2}}+2\right)
+\varepsilon_{n} \right) \\
\\
avec:\varepsilon_{n}=\sum_{k=1}^{n} k.\int_{1}^{1+\frac{k}{n^{3}}} \frac{-dx}{x^{2}}\\
or: \int_{1}^{1+\frac{k}{n^{3}}} \frac{-dx}{x^{2}}= \frac{1}{1+\frac{k}{n^{3}}}-1\\
puisque: 1\leq k \leq n ~~et ~~ \sum_{k=1}^{n}k = \frac{n(n+1)}{2}\\
Alors: \frac{-k}{n^{3}+1} \leq k.\int_{1}^{1+\frac{k}{n^{3}}} \frac{-dx}{x^{2}} \leq \frac{-k}{n^{2}+1}\\
\\
et :~~ \frac{-n(n+1)}{2(n^{3}+1)} \leq \varepsilon_{n}
\leq \frac{-n(n+1)}{2(n^{2}+1)}\\
d'ou:~~~~\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} \frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}=0\\
or: u_{n}=\frac{1}{n^{2}}\left(
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{-dx}{x^{2}}+2
\right)
\sum_{k=1}^{n}k+ \frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}\\
c.à.d : ~~ u_{n}=\frac{n(n+1)}{2n^{2}}\left(
\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{-dx}{x^{2}}+2
\right)
+ \frac{\varepsilon_{n}}{n^{2}}\\
or : ~~ \int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{-dx}{x^{2}}=-1\\
Alors:
\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} u_{n}=\frac{1}{2}\\
$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par a.bendriouich.
Re: Limite d'une suite
il y a deux mois
avatar
On est très très prêt d'une somme de Riemann...D'autres exos sont construits sur ce principe.
Re: Limite d'une suite
il y a deux mois
Bonjour ou bonsoir (voir l'heure )

je vais poster une solution un peu simple dés que je règle un problème d'internet sur mon PC

@ a.bendriouich

une solution trés haut niveau

Grand merci à tous elle est devenue claire .
Re: Limite d'une suite
il y a deux mois
Voici une autre méthode


Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 136 655, Messages: 1 321 417, Utilisateurs: 24 147.
Notre dernier utilisateur inscrit Topos.


Ce forum
Discussions: 30 199, Messages: 277 905.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page