Une inégalité très ardue

Bonjour,
montrer que c'est une sous-solution d'une équation différentielle ?
utiliser l'inégalité de Hölder ?
utiliser le fait que la fonction gamma est log-convexe ?
des idées en l'air...

bien vu YvesM (tu)
peut-être que c'est vrai de 0+ jusqu'au minimum de la fonction gamma sur les positifs... je dois prendre un stylo et mon courage à deux mains.

Bonjour,

Pour tout écrire c’est trés long...

On montre que $f(x)=\psi’´(x)+\psi’(x)^2>0,x>0$ à partir de $\Gamma(x+1)=x \Gamma(x),x>0$ et donc $\psi(x+1)-\psi(x)=1/x,x>0$ et des expressions dérivées avec $f(x)\to 0,(x\to +\infty).$

On montre à partir d’une série que $\psi’(x)\sim 1/x+1/(2x^2)+1/(6x^3)+...,(x\to +\infty)$ et donc $x \psi’(x)\to 1,(x\to +\infty).$

On montre que $\ln x-1/x\leq \psi(x)\leq \ln x-1/(2x),x>0.$

On conclut sur l’existence et la valeur : $\psi’(x) e^{\psi(x)}\to 1,(x\to +\infty)$ par le théorème des gendarmes.