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Une inégalité très ardue

Envoyé par gebrane 
Une inégalité très ardue
l’an passé
avatar
Bonjour, Cela fait un jour que je travaille sur cette inégalité: $$\forall x>0,\quad \psi'(x).e^{\psi(x)}<1$$
avec $\psi$ "digamma fonction" définie par $\psi(x)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}$ où $\Gamma(x)=\int_0^{\infty} e^{-t} t^{x-1} dt$
(Le samedi je dois rendre les comptes)
Une idée qui marche ?

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[Neicitaméhtam Rineved Ed Tse Taihuos Nom ]
Re: Une inégalité très ardue
l’an passé
Bonjour,
montrer que c'est une sous-solution d'une équation différentielle ?
utiliser l'inégalité de Hölder ?
utiliser le fait que la fonction gamma est log-convexe ?
des idées en l'air...
Re: Une inégalité très ardue
l’an passé
avatar
Bonjour,

@gebrane : l’inégalité écrite est grossièrement fausse (la limite à l’infini du membre de gauche de l’inégalité est infinie). Est-ce une typo ?

Correction : c’est moi qui raconte des conneries...



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par YvesM.
Re: Une inégalité très ardue
l’an passé
bien vu YvesM thumbs down
peut-être que c'est vrai de 0+ jusqu'au minimum de la fonction gamma sur les positifs... je dois prendre un stylo et mon courage à deux mains.
Re: Une inégalité très ardue
l’an passé
avatar
YvesM : pourtant wolfram alpha à l'air d'être d'accord avec le problème posé.
Re: Une inégalité très ardue
l’an passé
avatar
Bonjour,
Il n' y a pas de fautes

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[Neicitaméhtam Rineved Ed Tse Taihuos Nom ]
Re: Une inégalité très ardue
l’an passé
Je pose f la fonction psy (digamma)

g=f +ln(f')

Il suffit de prouver g'>0 et la limite de g est nulle en +oo
Re: Une inégalité très ardue
l’an passé
avatar
Merci etanche bonne idée
g'>0 revient à démontrer que f'²+f''>0

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[Neicitaméhtam Rineved Ed Tse Taihuos Nom ]
Re: Une inégalité très ardue
l’an passé
L'inégalité de gebrane c'est que $e^{\psi(x)} -x$ est décroissante

Quand $x \to \infty$

$$\psi(x) = \log x - x^{-1}/2- x^{-2}/12+C x^{-3}+O(x^{-4})$$

donne que $$e^{\psi(x)} -x = x\exp(-x^{-1}/2 - x^{-2}/12 + C x^{-3}+O(x^{-4}))-x \\= x(1-x^{-1}/2+x^{-2}/24+Dx^{-3}+O(x^{-4})) -x \\ =-1/2 \color{red}{+x^{-1}/24} + Dx^{-2}+O(x^{-3})$$ est décroissante pour $x > A$



Edité 6 fois. La derni&egrave;re correction date de l&rsquo;an pass&eacute; et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par reuns.
Re: Une inégalité très ardue
l’an passé
avatar
Bonjour,

Pour tout écrire c’est trés long...

On montre que $f(x)=\psi’´(x)+\psi’(x)^2>0,x>0$ à partir de $\Gamma(x+1)=x \Gamma(x),x>0$ et donc $\psi(x+1)-\psi(x)=1/x,x>0$ et des expressions dérivées avec $f(x)\to 0,(x\to +\infty).$

On montre à partir d’une série que $\psi’(x)\sim 1/x+1/(2x^2)+1/(6x^3)+...,(x\to +\infty)$ et donc $x \psi’(x)\to 1,(x\to +\infty).$

On montre que $\ln x-1/x\leq \psi(x)\leq \ln x-1/(2x),x>0.$

On conclut sur l’existence et la valeur : $\psi’(x) e^{\psi(x)}\to 1,(x\to +\infty)$ par le théorème des gendarmes.
Re: Une inégalité très ardue
l’an passé
avatar
Merci etanche
L'idée de étanche marche, on montre que $g =\psi +ln \psi$ est croissant
Merci reuns
Grace à $\psi(x) = \log x - \frac{1/2}{x}+ \frac{-1/12}{x^2}+O(x^{-3})$ on montre que la limite de g en l'infini est nulle

edit mon message a croisé celui de YvesM a lire

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[Neicitaméhtam Rineved Ed Tse Taihuos Nom ]
Re: Une inégalité très ardue
l’an passé
avatar
Ok YvesM thumbs down

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[Neicitaméhtam Rineved Ed Tse Taihuos Nom ]
Re: Une inégalité très
l’an passé
C'est fait dans l'article
Some new inequalities gamma and polygamma functions
Auteur Necdet Batir

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