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Une inégalité vraie ?

Envoyé par zartisant 
Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
Ce résultat est-il vrai :

$$\forall f \in C([0,1],\mathbb R), \forall a,b \in \mathbb N, \int_0^1 f(x)^{2a+1}\text{d}x\times \int_0^1 f(x)^{2b+1}\text{d}x\leq \int_0^1 f(x)^{2(a+b+1)}?$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par zartisant.
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
Non... oui... peut-être grinning smiley



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par callipiger.
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
aurais-tu un contre-exemple ?
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
Pour le moment aucune fonction usuelle...
Mais ça fonctionne avec tous les monômes... ce qui montre que c'est vrai pour toutes les fonctions absolument monotones (et là je vais carrément trop vite... je m'emballe).
M
alheureusement ce dernier n'est pas un espace vectoriel (ça aurait vraiment bien ça...).

J
e n'ai pas essayé avec ln et les fonctions trigonométriques.

merci AD



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par callipiger.
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
Avec Hölder ?
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
Je n'ai pas la réponse, mais on peut également se poser la question discrète : pour tout $(u_1,\ldots,u_n)\in \R^n$ et $(a,b)\in \N^2$, a-t-on $\displaystyle \left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n u_k^{2a+1}\right) \left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n u_k^{2b+1}\right) \leqslant \dfrac{1}{n} \sum_{k=1}^n u_k^{2(a+b+1)}$ ?
Rien qu'avec $n=2$, la réponse n'est pas claire.
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
@zartisant la réponse est non.

prendre $f(x) := \displaystyle\frac{1}{x+1}$ et $a=b=0$
P.
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
soit $f>0$ $ A,B>1$ et $I(A)=\int_0^1f(x)^Adx.$ Alors

$$2I(A+B)-2I(A)I(B)=\int_0^1\int_0^1(f(x)^A-f(y)^A)(f(x)^B-f(y)^B)dxdy\geq 0$$



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par JLT.
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
@zartisant Errare humanum est je dis des salades drinking smiley
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
@Raoul : le cas a=b=0 c'est le cas de l'inégalité de Jensen appliqué à la fonction convexe carré.
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
bonsoir,

$a=b$ : inégalité de Cauchy-Schwarz en considérant la fonction constante égale à 1.
$f$ monotone positive : version continue de l'inégalité Tchebychev (ie quand on deux suites croissantes de réels et on couple à des sommes de Riemann, ou bien on l'écrit comme P. c'est à dire comme une intégrale double de $(g(y)-g(x))(h(y)-h(x))$ avec $g$ et $h$ monotones dans le même sens, non nécessairement positives)
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
@zartisant je préférais Zouha10 car lui ne m'aurait pas corrigé... grinning smiley
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
peut être que... ceci peut aider en admettant que l'intégrale est un opérateur trace

ps: tout ceci est à prendre avec des pincettes bien entendu (comme d'habitude avec moi)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par callipiger.
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
P. a répondu par l'affirmative avant que son message ne soit ensevelit par les miens... spinning smiley sticking its tongue out
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
Bravo P.
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
sans oublier l'inégalité de Hölder qui donne le résultat...
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
Comment ?
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
A noter que l'on peut remplacer les fonctions $x^{2a+1}$ et $x^{2b+1}$ par 2 fonctions monotones quelconque (quand elles ont une variation différente on obtient l'inégalité inversée)
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
avatar
Bonjour,

@Guego : c’est une bonne idée de passer en discret puis aux intégrales. L’inégalité que tu as écrite est vraie : c’est l’inégalité de Chebyshev. On range les éléments par ordre croissant (ou décroissant) : voilà !
P.
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
Hölder dit que $k(s)=\log \int_0^1f(x)^sdx$ est convexe et donc $k'$ est croissante. D’où pour $s,s'>0$ $$
k(s)=\int_0^sk'(t)dt\leq \int_{s'}^{s+s'}k'(t)dt\Rightarrow k(s)+k(s')\leq k(s+s').$$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a cinq mois et a été effectuée par AD.
Re: Une inégalité vraie ?
il y a cinq mois
C'est toujours amusant de voir diverses solutions.
Pour Hölder, je voyais juste appliquer Hölder, $2(a+b+1)/(2a+1)$, le conjugué, 1 comme autre fonction
à la première intégrale et Hölder $2(a+b+1)/(2b+1)$, le conjugué, 1 comme autre fonction à la deuxième.

Vu que les exposants sont des entiers la preuve de P. est intéressante car n'utilise que du calcul algébrique. Reste à en trouver une sans intégrale double.
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