Nature de 2 séries

totem · July 2019

Re,
nature des séries de termes généraux : $$

a) \quad u_n={\cosh\Big(\frac{1}{n}\Big)}^{-n^2}
\qquad

b)\quad v_n={{\cosh\Big(\frac{1}{n}\Big)}}^{-n^3} .

$$ Conjecture : la a) diverge et la b) converge.
J'ai essayé de chercher un équivalent, j'ai mis pour cela $e^{\frac{1}{n}}$ en facteur, mais cela ne marche guère...des idées ?

Math Coss · July 2019

Ce qui est écrit n'a pas de sens, l'exposant est mal placé.

Guego · July 2019

Utilise le développement limité $\cosh(x) = 1+\dfrac{1}{2x^2} + o\left( \dfrac{1}{x^2}\right)$. Ça te permet de trouver un équivalent de $\ln(\cosh(\frac{1}{n}))$, qui te permettra de connaître le comportement asymptotique de tes suites.