Une simple question de convergence uniforme

tdcn
tdcn
dans Analyse
Bonjour
Ma question est simple et a uniquement pour but de voir si j'ai bien compris la notion de convergence uniforme.

Je considère un ouvert quelconque d'un espace vectoriel normé, et une suite de fonctions continues définies sur l'adhérence de cet ouvert.
Suffit-il de montrer que la suite converge uniformément sur l'ouvert pour montrer la convergence uniforme sur l'adhérence de l'ouvert ?

Peut-être que la question paraît idiote, et dans ce cas je m'en excuse, je cherche juste à savoir si ma compréhension est bonne ...
En vous remerciant d'avance.

Réponses

  • gebrane
    gebrane
    Tu prends f_n(x)=nx /(1+nx )
    convergence uniforme sur ]0.1[ a montrer
    convergence uniforme sur [0.1] ? Non pourquoi?
    Le 😄 Farceur


  • tdcn
    tdcn
    La suite de fonction que tu proposes converge simplement vers la fonction égale à 1 sur ]0, 1] et à 0 en 0.
    Mais il me semble que pour n quelconque, $\|f_n - 1\|_{\infty, ]0, 1[} = \sup_{x\in]0,1[} |f_n(x) - 1| = 1$ donc elle ne me semble pas converger uniformément sur ]0, 1[.

    Par contre je suis d'accord pour dire qu'elle converge uniformément sur tous les compacts de ]0, 1[, mais sauf erreur cela n'implique pas qu'elle converge uniformément sur leur réunion.

    Mes excuses si je fais erreur, peux tu me corriger si c'est le cas ?
  • gebrane
    gebrane
    la fonction converge simplement sur le fermé [0,1] vers une fonction discontinue , donc la convergence ne peut pas être uniforme sur [0,1]
    Prends ton temps pour voir que la convergence est uniforme sur ]0,1[ ( plus exactement sur ]0,1]
    Le 😄 Farceur


  • totem
    totem
    $\|f_n - 1\|_{\infty, ]0, 1[} = \sup_{x\in]0,1[} |f_n(x) - 1| =1-\frac{n}{1+n}= \frac{1}{1+n} $ non ?
  • tdcn
    tdcn
    Oui en effet, je suis tout à fait d'accord pour dire que la convergence ne peut être uniforme sur [0, 1].

    Par contre je suis navré mais je ne vois pas pourquoi elle le serait sur ]0, 1]. Je trouve que la norme infinie de la différence est toujours égale à 1 (car il s'agit d'une borne sup)...

    De plus, si j'en crois le théorème d'interversion des limites, si la suite convergeait effectivement uniformément sur ]0, 1], on aurait $lim_{n \rightarrow + \infty} \lim_{x \rightarrow 0} f_n(x) = \lim_{x \rightarrow 0} lim_{n \rightarrow + \infty} f_n(x)$ ce qui est impossible, le membre de gauche valant 0 et le membre de droite valant 1.
    (pour le théorème, voir http://uel.unisciel.fr/mathematiques/suites_fonctions/suites_fonctions_ch01/co/apprendre_ch1_14.html , en particulier la remarque en bas qui précise que le point en lequel on regarde la limite peut être au bord de l'intervalle, ce qui confirme la version que j'ai dans mon cours).

    Encore une fois, cela est peut-être du à une incompréhension de ma part mais je ne vois pas où elle se trouve. Merci de ton aide en tout cas.
  • tdcn
    tdcn
    totem écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1833392,1833416#msg-1833416
    [Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
    Ce résultat me semble étrange. Je raisonne plutôt de la manière suivante :
    $|f_n(x) - 1| = |\frac{nx}{1 + nx} - 1| = \frac{1}{1 + nx}$ donc $\|f_n - 1\|_{\infty, ]0, 1[} = 1$

    Edit : je n'avais pas vu l'inégalité, par conséquent je suis d'accord avec ton message.
  • gebrane
    gebrane
    Ah, tu as raison
    un calcul de tête m'a enduit en erreur, la convergence n'est pas uniforme sur ]0,1]
    Le 😄 Farceur


  • side
    side
    supp
  • gebrane
    gebrane
    J'ai eu la même précipitation que Tchapaiev ( je n'ai pas vu tes hypothèses de continuité)
    La réponse est oui , l'explication ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1153879,1153895#msg-1153895
    Le 😄 Farceur


  • tdcn
    tdcn
    Merci Side pour cette réponse détaillée !
    Je crois qu'il reste un point que je n'ai pas tout à fait saisi : pourquoi ne s'agit-il pas d'une conséquence "immédiate" du théorème d'interversion des limites en un point adhérent à $U$ ?
    La justification que vous proposez implique un appel aux suites de Cauchy ce qui m'évoque fortement la démonstration de ce théorème, et j'ai l'impression que l'on répète les même arguments...
    Sans doute que quelque chose m'échappe encore.

    Merci Gebrane, je vais lire ça.
  • side
    side
    supp
  • tdcn
    tdcn
    En effet je vois le problème. Je m'imaginais des exemples trop simples sur des intervalles de $\mathbb{R}$, c'est pour cela que je ne voyais pas la difficulté.

    Merci à tous pour vos réponses !
  • totem
    totem
    Quelqu'un peut-il me dire si ma petite contribution est correcte ou fausse ? moi aussi je voudrais m'assurer que j'ai compris :-)
  • gerard0
    gerard0
    Totem,

    ton sup est faux, trace la courbe de $f_n$ et tu verras tout de suite.

    Cordialement.
  • side
    side
    supp
  • totem
    totem
    Ok merci je vais regarder ça !
  • side
    side
    supp
  • totem
    totem
    @side : merci pour le bilan, qu'entends -tu par "contrôle uniforme" stp ?
  • Dom
    Dom
    Un contrôle "indépendamment de $x$" ($x$ étant la variable de la fonction).

    Remarque : Quand on parle de continuité uniforme c'est très limpide. Il suffit de regarder les expressions quantifiées de "$f$ continue sur l'intervalle $I$" et "$f$ continue uniformément sur l'intervalle $I$".
    C'est une histoire d'ordre des quantificateurs.
  • side
    side
    supp
  • totem
    totem
    @Dom : ok , mais l'uniforme continuité je connais la définition mais j'ai du mal à comprendre ce que c'est, faut que je potasse encore ça.

    @side: c'est quoi la convergence informe ? :-D
  • Dom
    Dom
    Sur ce site : http://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./c/cvu.html
    On a une définition quantifiée $\varepsilon-\delta$ de la convergence uniforme, sans le « sup » qui cache quelque chose je trouve (malgré l’équivalence une fois prouvée que le sup existe à partir d’un certain rang).

    Il faut essayer de donner une définition de la convergence simple dans le même genre (dommage que le site ne le fasse pas justement).

    Je pense que « informé » est une coquille de side.
  • gebrane
    gebrane
    @totem
    Installe toi bien, des pop-corns sur la table et regarde
    Le 😄 Farceur


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