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Une simple question de convergence uniforme

Envoyé par tdcn 
Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
Bonjour
Ma question est simple et a uniquement pour but de voir si j'ai bien compris la notion de convergence uniforme.

Je considère un ouvert quelconque d'un espace vectoriel normé, et une suite de fonctions continues définies sur l'adhérence de cet ouvert.
Suffit-il de montrer que la suite converge uniformément sur l'ouvert pour montrer la convergence uniforme sur l'adhérence de l'ouvert ?

Peut-être que la question paraît idiote, et dans ce cas je m'en excuse, je cherche juste à savoir si ma compréhension est bonne ...
En vous remerciant d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
avatar
Tu prends f_n(x)=nx /(1+nx )
convergence uniforme sur ]0.1[ a montrer
convergence uniforme sur [0.1] ? Non pourquoi?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
La suite de fonction que tu proposes converge simplement vers la fonction égale à 1 sur ]0, 1] et à 0 en 0.
Mais il me semble que pour n quelconque, $\|f_n - 1\|_{\infty, ]0, 1[} = \sup_{x\in]0,1[} |f_n(x) - 1| = 1$ donc elle ne me semble pas converger uniformément sur ]0, 1[.

Par contre je suis d'accord pour dire qu'elle converge uniformément sur tous les compacts de ]0, 1[, mais sauf erreur cela n'implique pas qu'elle converge uniformément sur leur réunion.

Mes excuses si je fais erreur, peux tu me corriger si c'est le cas ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par tdcn.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
avatar
la fonction converge simplement sur le fermé [0,1] vers une fonction discontinue , donc la convergence ne peut pas être uniforme sur [0,1]
Prends ton temps pour voir que la convergence est uniforme sur ]0,1[ ( plus exactement sur ]0,1]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
$\|f_n - 1\|_{\infty, ]0, 1[} = \sup_{x\in]0,1[} |f_n(x) - 1| =1-\frac{n}{1+n}= \frac{1}{1+n} $ non ?
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
Oui en effet, je suis tout à fait d'accord pour dire que la convergence ne peut être uniforme sur [0, 1].

Par contre je suis navré mais je ne vois pas pourquoi elle le serait sur ]0, 1]. Je trouve que la norme infinie de la différence est toujours égale à 1 (car il s'agit d'une borne sup)...

De plus, si j'en crois le théorème d'interversion des limites, si la suite convergeait effectivement uniformément sur ]0, 1], on aurait $lim_{n \rightarrow + \infty} \lim_{x \rightarrow 0} f_n(x) = \lim_{x \rightarrow 0} lim_{n \rightarrow + \infty} f_n(x)$ ce qui est impossible, le membre de gauche valant 0 et le membre de droite valant 1.
(pour le théorème, voir [uel.unisciel.fr] , en particulier la remarque en bas qui précise que le point en lequel on regarde la limite peut être au bord de l'intervalle, ce qui confirme la version que j'ai dans mon cours).

Encore une fois, cela est peut-être du à une incompréhension de ma part mais je ne vois pas où elle se trouve. Merci de ton aide en tout cas.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
totem écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
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Ce résultat me semble étrange. Je raisonne plutôt de la manière suivante :
$|f_n(x) - 1| = |\frac{nx}{1 + nx} - 1| = \frac{1}{1 + nx}$ donc $\|f_n - 1\|_{\infty, ]0, 1[} = 1$

Edit : je n'avais pas vu l'inégalité, par conséquent je suis d'accord avec ton message.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
avatar
Ah, tu as raison
un calcul de tête m'a enduit en erreur, la convergence n'est pas uniforme sur ]0,1]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
Bonjour,


La question posée n'a rien de trivial et la justification relève plus d'une question sur les espaces complets que d'une vérification de la compréhension de la convergence uniforme.

Pour répondre aux posts précédents
Si on a convergence uniforme sur $]0;1[$ et convegence simple en $0$ et en $1$ alors il y a convergence uniforme sur $[0;1]$. Pour le montrer, nul besoin d'hypothèses de régularité et ça se montre en revenant à le définition. Mais ça ne se généralise pas à un ouvert quelconque d'un evn (la caractère fini de l'ensemble $\{0;1\}$ est difficilement généralisable mais à mon avis c'est le seul résultat à retenir pour la compréhension de la convergence uniforme (parmi d'autres résultats qui ne sont pas l'objet de ce post).


Il faut procéder autrement dans un espace complet.
On utilise le critère de Cauchy pour la convergence sur $U$ et on considère une suite $(x_n)$ de $U$ qui converge un élément $x$ de l'adhérence de $U$. Un passage à la limite sur les indices qui indexent la suite $(x_n) $ donne alors (grâce à la convergence uniforme sur l'ouvert U + la continuité des $f_p$ sur l'adhérence + théorème d'inversion des limites en un point adhérent à U) que la suite $(f_p(x))$ est une suite de Cauchy donc converge vers un élément qu'on note $f(x)$ et si on reprend toutes les majorations et tout les quantificateurs et encore passage à la limite cette fois-ci sur un des deux indices dans la majoration $|f_p(x) - f_q(x)|$ on montre la convergence uniforme vers la fonction prolongée sur l'adhérence de U (ou bien c'est plus simple on utilise le critère de Cauchy uniforme, le passage à la limite n'est en fait pas utile).


Sauf erreur, si je reprends les hypothèses de votre post, la réponse est oui. Et toutes les hypothèses sont utilisées notamment la continuité sur l'adhérence des $f_n$ qui de mon point de vue est le point essentiel qui fait que le miracle a lieu.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par side.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
avatar
J'ai eu la même précipitation que Tchapaiev ( je n'ai pas vu tes hypothèses de continuité)
La réponse est oui , l'explication ici [www.les-mathematiques.net]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
Merci Side pour cette réponse détaillée !
Je crois qu'il reste un point que je n'ai pas tout à fait saisi : pourquoi ne s'agit-il pas d'une conséquence "immédiate" du théorème d'interversion des limites en un point adhérent à $U$ ?
La justification que vous proposez implique un appel aux suites de Cauchy ce qui m'évoque fortement la démonstration de ce théorème, et j'ai l'impression que l'on répète les même arguments...
Sans doute que quelque chose m'échappe encore.

Merci Gebrane, je vais lire ça.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
Le résultat d'inversion des limites sert bien entendu (il est appelé entre parenthèse)

Ce seul résultat vous donne l'existence de $f$ sur l'adhérence de $U$ point par point mais comment vous faites pour justifier la convergence uniforme ?
En tout cas je ne vois pas comment procéder.


Encore une fois s'il n'y a que 2 points (par exemple comme dans l'exemple de l'intervalle $]0;1[$) ou plus généralement nombre fini de points adhérents il n'y a pas de difficulté, on peut faire comme ça et conclure facilement à la convergence uniforme.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par side.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
En effet je vois le problème. Je m'imaginais des exemples trop simples sur des intervalles de $\mathbb{R}$, c'est pour cela que je ne voyais pas la difficulté.

Merci à tous pour vos réponses !
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
Quelqu'un peut-il me dire si ma petite contribution est correcte ou fausse ? moi aussi je voudrais m'assurer que j'ai compris smiling smiley
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
Totem,

ton sup est faux, trace la courbe de $f_n$ et tu verras tout de suite.

Cordialement.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
Contribution erronée : voir l'explication détaillée de tdcn qui justifie le calcul et la valeur de $||f_n-1||_{\infty}=1$ et non $1/(1+n)$.

Gerard0 a répondu...



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par side.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
Ok merci je vais regarder ça !
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
Si on résume ce qui précède dans le cas particulier de l'intervalle $I=]0;1[$

1) convergence uniforme de la suite $(f_n)$ vers $f$ sur $I$ et convergence simple de $(f_n(0)) $ et de $(f_n(1))$ impliquent alors que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $[0;1]$.
Aucune hypothèse de régularité sur les $f_n$ ou $f$ n'est requise.

2) l'objet du post
$\forall n, f_n$ continue sur $[0;1]$ et $(f_n) $ converge uniformément vers $f$ sur $I$.
Alors la convergence de la suite $(f_n)$ est uniforme vers une fonction continue sur $[0;1]$.

Remarques
La démonstration de ce résultat est une conséquence facile du théorème dinversion des limites.
Ce second résultat se généralisé dans un espace vectoriel normé complet (mais n'est plus une simple conséquence du théorème d'inversion des limites, ou du moins il faut en plus justifier un contrôle uniforme sur la convergence en les points adhérents).

À mon avis, le premier résultat utilisant la convergence simple ne se généralise pas comme le secobd. Mais je n'ai pas de contre exemple.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par side.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
@side : merci pour le bilan, qu'entends -tu par "contrôle uniforme" stp ?
Dom
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
Un contrôle "indépendamment de $x$" ($x$ étant la variable de la fonction).

Remarque : Quand on parle de continuité uniforme c'est très limpide. Il suffit de regarder les expressions quantifiées de "$f$ continue sur l'intervalle $I$" et "$f$ continue uniformément sur l'intervalle $I$".
C'est une histoire d'ordre des quantificateurs.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
@totem
Par le théorème d'inversion des limites on a une convergence simple en tout point du bord de $U$. Il s'agit que cette convergence soit uniforme. Si le bord est de cardinal fini comme avec l'intervalle $]0;1[$ on a bien une convergence uniforme. Mais si le bord est de cardinal infini, il faut se débrouiller autrement pour montrer que la convergence est uniforme.

Je viens de lire l'explication de Dom qui explique mieux.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par side.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
@Dom : ok , mais l'uniforme continuité je connais la définition mais j'ai du mal à comprendre ce que c'est, faut que je potasse encore ça.

@side: c'est quoi la convergence informe ? grinning smiley
Dom
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
Sur ce site : [www.bibmath.net]
On a une définition quantifiée $\varepsilon-\delta$ de la convergence uniforme, sans le « sup » qui cache quelque chose je trouve (malgré l’équivalence une fois prouvée que le sup existe à partir d’un certain rang).

Il faut essayer de donner une définition de la convergence simple dans le même genre (dommage que le site ne le fasse pas justement).

Je pense que « informé » est une coquille de side.
Re: Une simple question de convergence uniforme
il y a deux mois
avatar
@totem
Installe toi bien, des pop-corns sur la table et regarde [www.youtube.com]

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Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
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