Une simple question de convergence uniforme
Bonjour
Ma question est simple et a uniquement pour but de voir si j'ai bien compris la notion de convergence uniforme.
Je considère un ouvert quelconque d'un espace vectoriel normé, et une suite de fonctions continues définies sur l'adhérence de cet ouvert.
Suffit-il de montrer que la suite converge uniformément sur l'ouvert pour montrer la convergence uniforme sur l'adhérence de l'ouvert ?
Peut-être que la question paraît idiote, et dans ce cas je m'en excuse, je cherche juste à savoir si ma compréhension est bonne ...
En vous remerciant d'avance.
Ma question est simple et a uniquement pour but de voir si j'ai bien compris la notion de convergence uniforme.
Je considère un ouvert quelconque d'un espace vectoriel normé, et une suite de fonctions continues définies sur l'adhérence de cet ouvert.
Suffit-il de montrer que la suite converge uniformément sur l'ouvert pour montrer la convergence uniforme sur l'adhérence de l'ouvert ?
Peut-être que la question paraît idiote, et dans ce cas je m'en excuse, je cherche juste à savoir si ma compréhension est bonne ...
En vous remerciant d'avance.
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Réponses
convergence uniforme sur ]0.1[ a montrer
convergence uniforme sur [0.1] ? Non pourquoi?
Mais il me semble que pour n quelconque, $\|f_n - 1\|_{\infty, ]0, 1[} = \sup_{x\in]0,1[} |f_n(x) - 1| = 1$ donc elle ne me semble pas converger uniformément sur ]0, 1[.
Par contre je suis d'accord pour dire qu'elle converge uniformément sur tous les compacts de ]0, 1[, mais sauf erreur cela n'implique pas qu'elle converge uniformément sur leur réunion.
Mes excuses si je fais erreur, peux tu me corriger si c'est le cas ?
Prends ton temps pour voir que la convergence est uniforme sur ]0,1[ ( plus exactement sur ]0,1]
Par contre je suis navré mais je ne vois pas pourquoi elle le serait sur ]0, 1]. Je trouve que la norme infinie de la différence est toujours égale à 1 (car il s'agit d'une borne sup)...
De plus, si j'en crois le théorème d'interversion des limites, si la suite convergeait effectivement uniformément sur ]0, 1], on aurait $lim_{n \rightarrow + \infty} \lim_{x \rightarrow 0} f_n(x) = \lim_{x \rightarrow 0} lim_{n \rightarrow + \infty} f_n(x)$ ce qui est impossible, le membre de gauche valant 0 et le membre de droite valant 1.
(pour le théorème, voir http://uel.unisciel.fr/mathematiques/suites_fonctions/suites_fonctions_ch01/co/apprendre_ch1_14.html , en particulier la remarque en bas qui précise que le point en lequel on regarde la limite peut être au bord de l'intervalle, ce qui confirme la version que j'ai dans mon cours).
Encore une fois, cela est peut-être du à une incompréhension de ma part mais je ne vois pas où elle se trouve. Merci de ton aide en tout cas.
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Ce résultat me semble étrange. Je raisonne plutôt de la manière suivante :
$|f_n(x) - 1| = |\frac{nx}{1 + nx} - 1| = \frac{1}{1 + nx}$ donc $\|f_n - 1\|_{\infty, ]0, 1[} = 1$
Edit : je n'avais pas vu l'inégalité, par conséquent je suis d'accord avec ton message.
un calcul de tête m'a enduit en erreur, la convergence n'est pas uniforme sur ]0,1]
La réponse est oui , l'explication ici http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1153879,1153895#msg-1153895
Je crois qu'il reste un point que je n'ai pas tout à fait saisi : pourquoi ne s'agit-il pas d'une conséquence "immédiate" du théorème d'interversion des limites en un point adhérent à $U$ ?
La justification que vous proposez implique un appel aux suites de Cauchy ce qui m'évoque fortement la démonstration de ce théorème, et j'ai l'impression que l'on répète les même arguments...
Sans doute que quelque chose m'échappe encore.
Merci Gebrane, je vais lire ça.
Merci à tous pour vos réponses !
ton sup est faux, trace la courbe de $f_n$ et tu verras tout de suite.
Cordialement.
Remarque : Quand on parle de continuité uniforme c'est très limpide. Il suffit de regarder les expressions quantifiées de "$f$ continue sur l'intervalle $I$" et "$f$ continue uniformément sur l'intervalle $I$".
C'est une histoire d'ordre des quantificateurs.
@side: c'est quoi la convergence informe ? :-D
On a une définition quantifiée $\varepsilon-\delta$ de la convergence uniforme, sans le « sup » qui cache quelque chose je trouve (malgré l’équivalence une fois prouvée que le sup existe à partir d’un certain rang).
Il faut essayer de donner une définition de la convergence simple dans le même genre (dommage que le site ne le fasse pas justement).
Je pense que « informé » est une coquille de side.
Installe toi bien, des pop-corns sur la table et regarde