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Équation en $x$ et $\sqrt{x}$

Envoyé par Tyoussef 
Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
Bonjour ou bonsoir (voir l'heure)

Résoudre, dans $\mathbb{R}$ : $\quad x^{\sqrt{x}}= \sqrt{x}^{\,x}.$
Merci d'avance.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Equation x et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
Utilise les logarithmes (note aussi qu'il y a une solution "évidente").



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par noix de totos.
Re: Equation x et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
avatar
Et même deux.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Equation x et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
avatar
Pour un physicien, est-ce que 0 est une solution ? [www.wolframalpha.com]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
Les solutions sont claires c'est $1$ et $4$ , mais sont-ce les seules ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Equation x et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
Salut,
Oui, ce sont les seules définies.
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
$@gebrane$ et $ @FLBP $

Je viens de voir , oui il sont les seules.
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
avatar
oui ce sont les seules définies mais aux yeux d'un physicien ?
Par exemple pour un physicien deux droites parallèles sont les droites qui se coupent uniquement en l'infini

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
avatar
Tu as une drôle de vision des physiciens on dirait winking smiley

$0^0$ est généralement accepté comme valant $1$, et je pense que tout le monde sera d'accord pour dire que $0^0=0^0$, indépendamment de la valeur qu'on lui donne. Mais bon l'énoncé est mal posé de toute façon, $x=0$ passe encore car $0^0=1$ est assez communément admis mais pour les racines de nombres négatifs...

Au final on a juste un énoncé probablement mal recopié et la question de $x=0$ n'est qu'une histoire de convention, pas très intéressant donc.
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
avatar
Bonjour,

J’ai trouvé $0,1,4$ comme solutions. La convention semble s’appliquer. Mais bon, n’en faisons pas un sujet de débat : Wikipedia (ma seule source en mathématique) prévient qu’en analyse cette expression n’est pas définie en général.
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
avatar
@Corto
Le message de YvesM me réconforte, on voit bien que les deux courbes se coupent à la limite de 0 ( à droite). Donc pour un physicien 0 est une solution

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
$@gebrane$

grinning smiley les deux courbes ne se coupent pas en $0$

Geogebra



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Tyoussef.


Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
avatar
Alors ça, c'est la meilleur surprise de ma vie

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
$@gebrane$

Ce que $@YvesM $ ne veut pas écrire la fonction $ln(x)$ des deux côtes

$$ ln^2(x).x.(1-\frac{x}{4})=0$$

Les solutions 0,1 et 4 smoking smiley
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
bonsoir,
en partant de l'équation $x^y=y^x$ qui ne possède que 2 solutions hormis (0,0) il ne peut y avoir que 2 solutions, dans la mesure ou $(x,y) \mapsto (x,\sqrt{y})$ est une contraction du cône Nord-Est issu de (1,1) dont les bords sont supporté par les axes de coordonnées
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
avatar
Tu m'as piéger dans tes sables mouvants.

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
$@ callipige$

En français SVP , ça donne quoi ?,( C'est pour rire faites une figure )



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par Tyoussef.
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
$@gebrane$ [www.les-mathematiques.net]
Pour moi.

[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
je ne peux pas faire de figure pour une transformation du plan qui est une contraction qui ratatine le plan, je sais pas représenter ça sur un papier
mon idée: je transforme les solutions de l'équation de départ par une opération sur l'espace des phases du problème libre
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
je fais ça demain. ok ? bonne soirée !
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
$@ callipiger $
Oui c'est bien
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
Bonjour,
ayant les idées un peu plus claires et éclaircies, je me rends compte que le mot "contraction" était mal choisi,

alors je donne mon explication:
J'appelle $I$ le coin supérieur que j'ai défini plus tôt,

ou peut voir $I$ comme un espace qui est partitionné par les graphes des fonctions exponentielles (vue comme fonctions dont l'espace de départ est l'axes des abscisses)

mais on peut également voir $I$ comme un espace qui est partitionné par les graphes des fonctions exponentielles (vue comme fonctions dont l'espace de départ est l'axes des ordonnées)

et j'arrête là pour le moment (je reprends tout à l'heure)

(tas de trucs à faire, et je viens de me lever, pas encore tout à fait en vacances)
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
Bonjour ou bonsoir ( voir l'heure )

Le $0$ n'est pas une solution , il ne vérifie pas l'équation . $0^0$ n'est pas définie confused smiley
Re: Équation en $x$ et $\sqrt{x}$
il y a six semaines
non... mais c'est un bon truc à envoyer à moins l'infini de la première bissectrice
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