Partons de l'équation proposée : $ f(x^4+y)=x^3f(x)+f(y)$.
En faisant $x:=-x$, on voit que : $f(-x)=-f(x)$ pour $x\neq 0$.
En faisant $x:=1$ et $y:=-1$, on voit que $f(0)=0$, ce qui prouve que $f(-x)=-f(x)$ pour tout $x \in \mathbb R$.
En faisant $y:=0$, on voit que : $ f(x^4)=x^3f(x)$, d'où il suit : $ f(x^4+y)=f(x^4)+f(y)$.
En conséquence, pour $x \geq 0$ et $y \in \mathbb R$ on a : $f(x+y)=f(x)+f(y)$.
Si $x \le 0$ et $y \in \mathbb R$, alors $-x \ge 0$, d'où :
$f(y)=f(-x+(x+y))=f(-x)+f(x+y)=-f(x)+f(x+y)$.
Il en résulte : $f(x+y)=f(x)+f(y)$ pour tout $x \in \mathbb R$ et tout $y \in \mathbb R$.
L'équation proposée est équivalente à : $f(x+y)=f(x)+f(y)$ et $ f(x^4)=x^3f(x)$.
La fonction $f$ est additive, donc $ \mathbb Q$-linéaire. Si l'on pose une hypothèse additionnelle telle que « $f$ continue en un point » ou autre de même acabit, alors $f$ est nécessairement $ \mathbb R$-linéaire, c'est-à-dire de la forme : $f(x)=mx$ avec $m$ constante réelle. Et cette fonction satisfait aussi à la seconde de nos deux équations finales. La dérivabilité partout est donc largement superfétatoire.
Bonne journée.
Fr. Ch.
11/07/2019