Mesure

Bonsoir, on peut prendre $\beta<1$ et comme j'ai déjà dit $r<1$.

Moi je voix que $|D(z_0,r)\cap\mathbb{D}|\sim \frac{1}{2}|D(z_0,r)|\sim \frac{c_2}{2}r^2$ où $c_2=|\mathbb{D}|$ géométriquement et par dilation.
On dit que $a\sim b$ s'il existe $c, d>0$ tels que $ac\leq b\leq da.$
J'aimerais montrer que ces constantes ne dépendent pas de $z_0$ et $r$.

Si $r\geq2$ on a $|D(z_0,r)\cap\mathbb{D}|=|\mathbb{D}|=c_2.$
Si $r<2$ en posant $z_1=(1-\frac{r}{4})z_0$ on a \[D(z_1,\frac{r}{6})\subset D(z_0,r)\cap\mathbb{D}.\] En effet, si $z\in D(z_1,\frac{r}{6})$ on a
$|z-z_0|\leq|z-z_1|+|z_1-z_0|\leq\frac{r}{6}+|z_0||1-\frac{r}{4}-1|=\frac{10r}{24}<\frac{r}{2}<1.$
Rappelons que $|D(z,r)|=c_2r^2.$
Donc $\frac{r^2}{36}c_2\leq |D(z_0,r)\cap\mathbb{D}|\leq c_2 r^2.$