Une nouvelle intégrale

Bonjour,
je suis en train de tenter de dériver sous le signe somme pour récupérer la même intégrale avec un signe $-$, pour vérifier une équation de la forme $f-b.f^{'}=0$ (l'énoncé est juste ?) et évaluer pour $a=0$ donc $b=\frac{1}{2}$

Poser $ t=\tan(ax)$
alors $I(a)=\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(\tan(ax))dx=\frac{1}{a}\int_{0}^{\tan(a\frac{\pi}{4})}\frac{\cos(t)}{1+t^2}dt$
si $ a=2$
alors $ I(a)=\frac{1}{2}\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(t)}{1+t^2}dt=\frac{\pi}{4}e^{-1}$
si $ a\in 4Z,\ I(a)=0$
si $ a\notin 4 Z$, $I(a)=\frac{\alpha}{a}\int_{0}^{1}\frac{\cos(\alpha t)}{1+\alpha^2t^2}dt,$ avec $ \alpha=\tan(a\frac{\pi}{4})$ $$
I(a)=\frac{\alpha}{2\pi a}\int_{0}^{2\pi}\frac{\cos(\beta u)}{1+\beta^2u^2}du=\frac{\alpha}{2\pi a}\Re\Big(\int_{0}^{2\pi}\frac{e^{i\beta u}}{1+\beta^2u^2}du\Big),

$$ avec $ \beta=\frac{\alpha}{2\pi}$.
La formule n'est pas correcte.

FDP
Quand même la formule est juste (a>0) , il y a seulement deux petites coquilles
1- remplacer le 4 par 2
2- déplacer le a à sa juste place

Corrigeons donc les coquilles de http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1836426,1836426#msg-1836426

Bonjour,
d’après le résultat, il faut prendre la forme exponentielle, autres idées... $$

\int_0^{\frac{\pi }

{2}} {\cos \big(a\tan (x)\big)dx = } \frac{\pi }

{2}e^{ - |a|}$$

en posant t=tanx on obtient avec la nouvelle formulation $$ J(a)=\int_{0}^{+\infty}\frac{\cos(at)}{1+t^2}dt=\frac{\pi}{2}e^{-\mid a \mid }$$

@gebrane Merci