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Rayon de convergence

Envoyé par Simeon-urbain 
Rayon de convergence
il y a six mois
Bonjour,
je ne suis pas sûr de mes résultats, je compte sur votre efficacité.
V
oici ce que trouve. $$a)\ r=1. \quad b)\ r=1/2.\quad c)\ r=1
$$ Merci.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six mois et a été effectuée par AD.


Re: rayon de convergence
il y a six mois
D'accord avec toi mais comment justifies-tu ?
Re: rayon de convergence
il y a six mois
avatar
Il me semble que la a) n'est pas une série entière (je ne vois comment l’écrire sous la forme$\sum a_nZ^n$)

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: rayon de convergence
il y a six mois
Bonjour,

A) diverge si $z=1$ et pour tout $z$ de module $r<1$, le module du terme général est borne par $2r^n$ et donc absolument convergente, donc $r=1$

B) faire comme dans a) en envisageant $z=1/2$

C) idem que a) et envisagez $z=1$ mais c'est plus difficile. Vous pouvez au moins minorer le rayon facilement.



Edité 3 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
gebrane : $a_n = \left\lbrace \begin{array}{cl} \dfrac{1+i}{\sqrt{n}} & \text{si }n\text{ est un carré parfait} \\ 0 & \text{sinon} \end{array} \right.$
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
avatar
Merci Guego
Je me suis fais avoir pour la deuxième fois

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
merci à tous

à bientôt. bonnes vacances. S_U
Re: rayon de convergence
il y a six mois
bonjour,

merci pour c/ r<1. mais =1 ,,??

à suivre si vous avez le temps. merci. S_U
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
avatar
Pour c tu peux montrer que $r \geqslant 1$ en majorant le cosinus. Pour conclure il suffit de montrer que $\cos (2^n)$ ne tend pas vers 0. Pour ça une formule trigo suffit.
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
bonjour

merci de ces conseils

bonne journée. S_U
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
bonjour

pour les questions a) et b) les réponses sont aisées
il s'agit bien de rayons égaux respectivement à 1 et 1/2

pour la question c) la réponse n'est pas évidente
car le coefficient $\cos(2^n)$ change t-il de signe de façon certaine pour n grand ?

si oui alors la série converge d'après les propriétés des séries
dont le terme général change de signe d'une façon régulière ou irrégulière

d'abord bien-sûr $\cos(2^n)$ ne prend de valeur égale à 1 ou - 1 puisque $2^n$ est forcément entier

d'autre part un tableau des valeurs de $\cos(2^n)$ pour n variant de 0 à 26
indique effectivement une alternance de signe avec une période de 1 ou bien 2, ou bien 3, ou bien 4

la démonstration générale de l'alternance de signe nécessiterait de montrer que
si $\cos(2^n)$ est positif alors il existe un entier p tel que $\cos(2^{n+p})$ soit négatif
et si $\cos(2^n)$ est négatif alors il existe un entier q tel que $\cos(2^{n+q})$ soit positif

cordialement
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
Bonjour,

Utilisez l'indication de Crapul avec $\cos 2x=2\cos^2 x - 1$
Vous n'avez pas besoin d'étudier précisément le comportement de la suite $\cos 2^n$ pour conclure.
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
avatar
Bonjour side,
Dans ton premier message, pour la question c, tu as dit envisager le cas z=1 mais c'est plus difficile. Je ne vois pas cette difficulté donc surement j'ai compris de travers ce que tu voulais dire .

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
Bonjour,
Oui, manifestement, puisque Jean Lismonde (et a mon avis il n'est pas le seul) sèche.
Et si c'était $\cos(e^n)$ ou $\cos(\sqrt 2^n) $(Correctif : pour celle-ci on se ramène à celle du fil) ou même $\cos P(n)$ (avec P polynôme) à la place de $\cos (2^n)$ je ne suis pas sûr de savoir traiter car il n'y a pas de formule trigo à la rescousse. Et il n'y a pas de raison, me semble-t-il, que la suite $\cos (e^n)$ ait un comportement très différent...enfin je pense.

Sauf si a mon tour quelque chose m'échappe.
Je regarderai ces autres cas, mais j'avoue que je n'ai pas d'idée a priori.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
avatar
Bonjour side
Depuis mon telephone. Si j ai compris tu ne vois pas comment demontrer que la suite cos(2^n) ne peut pas tendre vers 0

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
bonsoir,

soit la suite ne converge pas et le rayon de la série est 1,
soit la suite converge et sa limite $l$ est non nulle car racine du trinôme $l=2l^2-1$ et là encore le rayon 1.
Donc quel que soit le comportement de la suite, qui est inconnu, le rayon est 1.
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
avatar
Je ne vois pas toujours de difficulté pour deviner le sors de la suite $(\cos(2^n))$
Soit $a_n=\ln(n)$ on a bien $a_n\to +\infty$ et $\lim_{n\to\infty}\cos(2^{a_n})=\lim_{n\to\infty}\cos(n^2)$ n'existe pas
edit une grande défaillance, je démontre seulement que la fonction $x\to \cos(2^x)$ n'a pas de limite en + l'infini

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane.
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
Attention ! La suite $(\cos n)_{n\in\N}$ diverge mais elle admet des sous-suites convergentes : pourquoi pas $(\cos 2^n)_{n\in\N}$ ? ou $(\cos n^2)_{n\in\N}$ ?

Avant cela, quel lien entre ces deux suites ? La plupart des carrés ne sont pas des puissances de $2$ et une puissance de $2$ sur deux n'est pas un carré : pourquoi le fait qu'une des suites diverge entraînerait que l'autre diverge aussi ? Et d'ailleurs, pourquoi est-il si évident que $(\cos n^2)_{n\in\N}$ n'est pas convergente ?
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
bonsoir,

en réponse @ Gebrane
$2^{\ln n}=n^{\ln 2}$ donc ce serait plutôt $\ln n/\ln 2$ mais ça n'est pas le problème.
$a_n$ doit être entier ce qui n'est pas le cas de $\ln n$ ou bien alors il faut le prouver.
Et il y a beaucoup d'entiers entre $2^{E(\ln n)}$ et $2^{E(\ln n)+1}$ (et même si on divise la puissance par le $\ln 2$), un nombre qui tend vers l'infini avec $n$.


Ensuite l'exercice ne demande pas le comportement de cette suite $(\cos 2^n)$ mais uniquement le rayon d'une série.



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par side.
Re: Rayon de convergence
il y a six mois
avatar
@ Math Coss
Tu es un habitué du Forum, on a deja vu que $\{ \cos(n^2) \mid n \in\N \}$ est dense dans $[-1;1]$
edit Je ne retrouve plus le lien récent que je voulais, mais il y a celui ci [www.les-mathematiques.net]
Pour le reste, j'ai utilisé la continuité du cosinus.
@ side c'est une question bonus grinning smiley

edit 3 j'avais l’esprit ailleurs, je voulais démontrer que la fonction x--->cos(2^x) n'admet pas de limite en + l'infini

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a six mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane.
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