Rayon de convergence
dans Analyse
Bonjour,
je ne suis pas sûr de mes résultats, je compte sur votre efficacité.
Voici ce que trouve. $$a)\ r=1. \quad b)\ r=1/2.\quad c)\ r=1
$$ Merci.
je ne suis pas sûr de mes résultats, je compte sur votre efficacité.
Voici ce que trouve. $$a)\ r=1. \quad b)\ r=1/2.\quad c)\ r=1
$$ Merci.
Réponses
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D'accord avec toi mais comment justifies-tu ?
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Il me semble que la a) n'est pas une série entière (je ne vois comment l’écrire sous la forme$\sum a_nZ^n$)Le 😄 Farceur
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supp
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gebrane : $a_n = \left\lbrace \begin{array}{cl} \dfrac{1+i}{\sqrt{n}} & \text{si }n\text{ est un carré parfait} \\ 0 & \text{sinon} \end{array} \right.$
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Merci Guego
Je me suis fais avoir pour la deuxième foisLe 😄 Farceur -
merci à tous
à bientôt. bonnes vacances. S_U -
bonjour,
merci pour c/ r<1. mais =1 ,,??
à suivre si vous avez le temps. merci. S_U -
Pour c tu peux montrer que $r \geqslant 1$ en majorant le cosinus. Pour conclure il suffit de montrer que $\cos (2^n)$ ne tend pas vers 0. Pour ça une formule trigo suffit.
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bonjour
merci de ces conseils
bonne journée. S_U -
bonjour
pour les questions a) et b) les réponses sont aisées
il s'agit bien de rayons égaux respectivement à 1 et 1/2
pour la question c) la réponse n'est pas évidente
car le coefficient $\cos(2^n)$ change t-il de signe de façon certaine pour n grand ?
si oui alors la série converge d'après les propriétés des séries
dont le terme général change de signe d'une façon régulière ou irrégulière
d'abord bien-sûr $\cos(2^n)$ ne prend de valeur égale à 1 ou - 1 puisque $2^n$ est forcément entier
d'autre part un tableau des valeurs de $\cos(2^n)$ pour n variant de 0 à 26
indique effectivement une alternance de signe avec une période de 1 ou bien 2, ou bien 3, ou bien 4
la démonstration générale de l'alternance de signe nécessiterait de montrer que
si $\cos(2^n)$ est positif alors il existe un entier p tel que $\cos(2^{n+p})$ soit négatif
et si $\cos(2^n)$ est négatif alors il existe un entier q tel que $\cos(2^{n+q})$ soit positif
cordialement -
supp
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Bonjour side,
Dans ton premier message, pour la question c, tu as dit envisager le cas z=1 mais c'est plus difficile. Je ne vois pas cette difficulté donc surement j'ai compris de travers ce que tu voulais dire .Le 😄 Farceur -
supp
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Bonjour side
Depuis mon telephone. Si j ai compris tu ne vois pas comment demontrer que la suite cos(2^n) ne peut pas tendre vers 0Le 😄 Farceur -
supp
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Je ne vois pas toujours de difficulté pour deviner le sors de la suite $(\cos(2^n))$
Soit $a_n=\ln(n)$ on a bien $a_n\to +\infty$ et $\lim_{n\to\infty}\cos(2^{a_n})=\lim_{n\to\infty}\cos(n^2)$ n'existe pas
edit une grande défaillance, je démontre seulement que la fonction $x\to \cos(2^x)$ n'a pas de limite en + l'infiniLe 😄 Farceur -
Attention ! La suite $(\cos n)_{n\in\N}$ diverge mais elle admet des sous-suites convergentes : pourquoi pas $(\cos 2^n)_{n\in\N}$ ? ou $(\cos n^2)_{n\in\N}$ ?
Avant cela, quel lien entre ces deux suites ? La plupart des carrés ne sont pas des puissances de $2$ et une puissance de $2$ sur deux n'est pas un carré : pourquoi le fait qu'une des suites diverge entraînerait que l'autre diverge aussi ? Et d'ailleurs, pourquoi est-il si évident que $(\cos n^2)_{n\in\N}$ n'est pas convergente ? -
supp
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@ Math Coss
Tu es un habitué du Forum, on a deja vu que $\{ \cos(n^2) \mid n \in\N \}$ est dense dans $[-1;1]$
edit Je ne retrouve plus le lien récent que je voulais, mais il y a celui ci http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,432746,432785#msg-432785
Pour le reste, j'ai utilisé la continuité du cosinus.
@ side c'est une question bonus :-D
edit 3 j'avais l’esprit ailleurs, je voulais démontrer que la fonction x--->cos(2^x) n'admet pas de limite en + l'infiniLe 😄 Farceur
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Bonjour!
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