Rayon de convergence

Il me semble que la a) n'est pas une série entière (je ne vois comment l’écrire sous la forme$\sum a_nZ^n$)

gebrane : $a_n = \left\lbrace \begin{array}{cl} \dfrac{1+i}{\sqrt{n}} & \text{si }n\text{ est un carré parfait} \\ 0 & \text{sinon} \end{array} \right.$

Pour c tu peux montrer que $r \geqslant 1$ en majorant le cosinus. Pour conclure il suffit de montrer que $\cos (2^n)$ ne tend pas vers 0. Pour ça une formule trigo suffit.

bonjour

pour les questions a) et b) les réponses sont aisées
il s'agit bien de rayons égaux respectivement à 1 et 1/2

pour la question c) la réponse n'est pas évidente
car le coefficient $\cos(2^n)$ change t-il de signe de façon certaine pour n grand ?

si oui alors la série converge d'après les propriétés des séries
dont le terme général change de signe d'une façon régulière ou irrégulière

d'abord bien-sûr $\cos(2^n)$ ne prend de valeur égale à 1 ou - 1 puisque $2^n$ est forcément entier

d'autre part un tableau des valeurs de $\cos(2^n)$ pour n variant de 0 à 26
indique effectivement une alternance de signe avec une période de 1 ou bien 2, ou bien 3, ou bien 4

la démonstration générale de l'alternance de signe nécessiterait de montrer que
si $\cos(2^n)$ est positif alors il existe un entier p tel que $\cos(2^{n+p})$ soit négatif
et si $\cos(2^n)$ est négatif alors il existe un entier q tel que $\cos(2^{n+q})$ soit positif

cordialement

Bonjour side,
Dans ton premier message, pour la question c, tu as dit envisager le cas z=1 mais c'est plus difficile. Je ne vois pas cette difficulté donc surement j'ai compris de travers ce que tu voulais dire .

Bonjour side
Depuis mon telephone. Si j ai compris tu ne vois pas comment demontrer que la suite cos(2^n) ne peut pas tendre vers 0

Je ne vois pas toujours de difficulté pour deviner le sors de la suite $(\cos(2^n))$
Soit $a_n=\ln(n)$ on a bien $a_n\to +\infty$ et $\lim_{n\to\infty}\cos(2^{a_n})=\lim_{n\to\infty}\cos(n^2)$ n'existe pas
edit une grande défaillance, je démontre seulement que la fonction $x\to \cos(2^x)$ n'a pas de limite en + l'infini

supp