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2 questions d'analyse générale

Envoyé par zartisant 
2 questions d'analyse générale
il y a deux mois
$f$ fonction réelle quelconque :

1/ existe-t-il un ensemble $E\subset \mathbb R$ avec un point d'accumulation où $f$ est continue ?

2/ existe-t-il un ensemble $F\subset \mathbb R$ avec un point d'accumulation où $f$ est lipchitzienne ?



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par zartisant.
Re: 2 questions d'analyse générale
il y a deux mois
Super !

Je tiens là, 2 questions difficiles, dont le caractère très général fait tout l’intérêt.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: 2 questions d'analyse générale
il y a deux mois
L'indicatrice des rationnels est continue nulle part.
Re: 2 questions d'analyse générale
il y a deux mois
Elle est constante sur $E=\{\dfrac{1}{n} \text{ ; } n\in\mathbb N^*\} \cup \{0\}$ donc continue sur $E$ qui a 0 pour point d'accumulation.
Re: 2 questions d'analyse générale
il y a deux mois
Tu veux sans doute plutôt dire que sa restriction à $E$ est continue sur $E$, comme l'est sa restriction à $\Q$ d'ailleurs.
Re: 2 questions d'analyse générale
il y a deux mois
Re: 2 questions d'analyse générale
il y a deux mois
Il y a un théorème de Blumberg qui énonce que pour toute fonction $f$ de $\R$ dans lui-même, il existe un sous-ensemble $D \subset \R$ qui est dense et tel que $f\vert_D$ soit continue.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Héhéhé.
Re: 2 questions d'analyse générale
il y a deux mois
Ok et pour la question 2 ?
Re: 2 questions d'analyse générale
il y a deux mois
avatar
Pour la 1) :

Soit $x$ un réel, on peut trouver un ensemble $E$ ayant $x$ comme point d'accumulation tel que $f_{|E}$ soit continue si et seulement si pour tout $r>0$ la boule $B((x,f(x)),r)$ de $\R^2$ contient une infinité de points du graphe de $f$. Supposons qu'il n'existe aucun ensemble $E$ ayant un point d'accumulation dans $[0;1]$ tel que $f_{|E}$ soit continue, alors pour tout $x\in [0;1]$ il existe $r_x>0$ tel que $B((x,f(x)),r_x)$ ne contienne qu'un seul point du graphe de $f$ : le point $(x,f(x))$. On regarde maintenant la collection de boules ouvertes de la forme $B((x,f(x)),r_x/2)$ avec $x\in[0;1]$. Toutes ces boules sont ouvertes et leur centre est contenu dans la bande $[0;1]\times \R$ de $\R^2$, puisque cette collection de boules est de même cardinal que $\R$ on montre facilement qu'au moins deux de ses boules s'intersectent (en fait il y a tout un continuum de boules s'intersectant). Disons que $B((a,f(a)),r_a/2)$ et $B((b,f(b)),r_b/2)$ s'intersectent, cela veut dire que $(a;f(a))\in B((b;f(b),r_b)$ ce qui contredit notre hypothèse de départ. Il existe donc bien un réel $x\in [0;1]$ et un ensemble $E$ ayant $x$ comme point d'accumulation tel que $f_{|E}$ soit continue.

Pour des fonctions lipschitziennes il faudrait remplacer les boules ouvertes par des cônes mais ça coince de façon assez amusante. En effet ce n'est pas parce que deux cônes de $\R^2$ s'intersectent qu'en les agrandissant un peu l'un contiendra forcément le sommet de l'autre. J'ai une piste pour la 2), je verrais ça quand j'aurais un peu plus de temps.
Re: 2 questions d'analyse générale
il y a deux mois
1/ Bravo.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par zartisant.
AD
Re: 2 questions d'analyse générale
il y a deux mois
avatar
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