Convergence d'une suite

Bonjour

Je dispose d'une fonction continue $f : [-a,a] \rightarrow \mathbb{R}$ continue et vérifiant :
$$ \forall x \in [-a,a] \setminus \{ 0 \} \, , \, \left| f(x) \right| < |x| .
$$ Soit $x \in [-a,a]$. On pose $u_{n} = \underbrace{f \circ \cdots \circ f}_{n \text{ fois}}(x)$
et on s'intéresse à la convergence de la suite $(u_{n})$.

On montre facilement que tous les $u_{n}$ sont dans $[-a,a]$ et que $|u_{n+1}|<|u_{n}|$,
donc, la suite $(|u_{n}|)$ est convergente. Mais qu'en est-il de la suite $(u_{n})$ ?
Converge-t-elle aussi ?
Merci pour vos réponses éclairées,
$\alpha$-Nico