Espace de Sobolev

Philothée · July 2019

Bonjour,

On munit l'espace $H_0^1(0,1)$ de la norme $||f'||_2$ équivalente à la norme classique par l'inégalité de Poincaré.

Soit $J:H_0^1(0,1)\rightarrow L^2(0,1)$ l'injection canonique.
La question est de montrer qu'il existe $f_0\in H_0^1(0,1)$ telle que $||f_0'||_2=1$ et $||f_0||_2=||J||$. Autrement dit, on demande de montrer que la norme d'opérateur est atteinte.

Voici la correction de mon livre, qui est lacunaire :
On sait que l'injection $H^1\rightarrow C([0,1])$ est compacte (ça je le sais) ; comme l'injection $C([0,1])\rightarrow L^2(0,1)$ est continue, la composée est compacte, donc sa restriction $J:H_0^1(0,1)\rightarrow L^2(0,1)$ l'est aussi.

Pourriez-vous m'expliquer comment on conclut à partir de là ?

En vous remerciant.

Tryss · July 2019

Notons $B = \{ f\in H^1_0, \|f'\|_2 = 1\}$.

On a $\|J\| = \sup_{f\in B} \| J(f) \|$, donc il existe une suite $(f_n)$ d'éléments de $B$ telle que $\|J(f_n)\| \to \|J\|$.

Mais comme $J$ est compacte et $B$ bornée, $J(B)$ est relativement compacte

Donc on peut extraire une sous-suite $(J(f_{\varphi(n)}))_n$ qui converge vers un $f_0 \in J(B)$

Ce $f_0$ convient

Philothée · July 2019

Bonjour et merci d'avoir pris le temps de me répondre.

C'est bien le raisonnement auquel je pensais, mais pourquoi a-t-on $f_0\in J(B)$ ? En effet, $J(B)$ n'est a priori pas fermé, donc pour moi $f_0$ appartient seulement à $L^2$.

Tryss · July 2019

Exact, j'ai été un peu (beaucoup) trop vite. (td)

callipiger · July 2019

Bonjour,
un élément de la droite engendrée par $x\mapsto \sin(\pi x)$ pourrait répondre à la question ?

Tryss · July 2019

Ce raisonnement nous donne effectivement un candidat, encore faut-il montrer qu'il convient.

On a donc une suite $(f_n)$ d'éléments de $H^1_0$ de norme 1 qui converge dans $L^2$ vers $f_0$
Par Banach-Alaoglu, il existe une suite extraite $(f_{\phi(n)})$ qui converge faiblement dans $H_0^1$, notons $g$ cette limite.
On aimerait alors montrer que $f_0=g$ (presque partout)

callipiger · July 2019

Le représentant est $\mathcal C^1$ et s'annule en 0 et en 1 je pense que ça suffit ??? mais là n'est-il pas suffisant de dire qu'en tant qu'intersection de 2 fermés de $H^{1}_{0}$ i.e la droite ci-dessus et la sphère unité que c'est effectivement dans l'espace ${H}^{1}_{0}$ ?

Philothée · July 2019

$(f_n)_n$ est bornée dans $H_0^1$ donc il existe une sous-suite $(f_{\phi(n)})_n$ qui converge faiblement vers $f_0\in H_0^1$.
Or l'injection $H_0^1$ dans $C([0,1])$ est compacte. Par le lemme de Dunford-Pettis, $f_{\phi(n)}$ converge uniformément vers $f_0$. Par Hölder on a aussi convergence en norme $L^2$. En particulier $||f_0||_2=||J||$.

La convergence faible donne l'inégalité $||f_0'||_2\leq\liminf ||f_{\phi(n)}'||_2=1$.
Supposons par l'absurde que $m=||f_0'||_2<1$. Alors $||J||\geq ||J(f_0/m)||_2=||J||/m$ d'où $m\geq 1$ absurde!
On a donc $||f_0'||_2=1$