Somme des restes

math2 · July 2019

Prenons une série convergente de terme général $u_n$. On note $R_n$ le reste de la série. On s'intéresse à la convergence (et éventuellement au calcul) de la série des restes $\sum_n R_n$.

Dans le cas positif par exemple, on peut appliquer Fubini positif, et aussi dans le cas où la série double existe. Par exemple, le cas des restes de séries de Riemann se traite facilement par Fubini positif, tant pour la CV que pour le calcul (et si l'on se contente de la cv, l'équivalent standard du reste conclut à la réponse de la CV).

Je me suis ensuite intéressé à un cas semi convergent, j'ai pris l'exemple de $u_n=\sin(n)/n$. Dans ce cas, la série converge certes lentement, mais en oscillant ce qui fait que la série des restes converge également, et sa somme est $\frac12 \cot(\frac12)$. Pour démontrer ce point, je me suis armé d'un peu de patience et usé de transformations d'Abel. La version continue est plus sympathique car les primitives de sinus et cosinus sont simples, les primitives "discrètes" ont une tête plus exotique.

Même si j'ai répondu à la question, je ne suis pas satisfait de ma démonstration, que je trouve lourde en termes de calculs. Je n'y ai pas réfléchi sérieusement, mais je me pose la question d'une technique plus directe, peut-être en introduisant un $r^n$ devant le $u_n$ (avec $0<r<1$) pour améliorer la convergence, puis voir si l'on peut espérer faire tendre $r$ vers $1$. Des idées ?

totem · July 2019

C'est quoi une primitive "discrète" ?

math2 · July 2019

Par une primitive discrète de $\sin$, j'entendais une suite $(v_n)_n$ satisfaisant la relation $v_{n+1}-v_n=\sin(n)$.

Cela introduit un décalage de $1/2$ dans la fonction trigonométrique à chaque fois (en plus de la constante autre que $1$ ou $-1$), ce qui rend les calculs un peu plus pénibles que dans le cas de la version continue du problème, c'est-à-dire pour $\int_0^{+\infty} \left( \int_x^{+\infty} \frac{\sin(u)}{u}du\right) dx$.

math2 · July 2019

J'en profite pour préciser un peu ma question.

Pour $r \in [0;1[$ on peut appliquer la version intégrable de Fubini (pour les séries), pour obtenir :

$$\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{p\geq n+1} \frac{(re^i)^p}{p}=\sum_{p \geq 1}(re^i)^p= \frac{re^i}{1-re^i}.$$

Faisant brutalement $r=1$ dans ces formules (il faut donc justifier le passage à gauche), puis en prenant la partie imaginaire, on retombe sur $1/2 \cot(1/2)$ pour la somme qui m'intéresse.

C'est nettement plus court que les trois transfo d'Abel que j'ai été amené à faire, cependant le passage à la limite à gauche n'est pas justifié et demande sans doute du soin. Je me demande s'il se fait simplement, ou si les calculs ne vont pas au final être plus pénibles que les trois transformations d'Abel.

jandri · July 2019

Je connais une méthode qui est spécifique à la série de terme général $u_n(x)=\dfrac{\sin(nx)}n$ (pour $0<x<\pi$).

En introduisant $\dfrac1n=\displaystyle\int_0^1t^{n-1}\;dt$ on montre avec une somme partielle de série géométrique que $R_n=\displaystyle\sum_{k>n}u_k(x)=Im(\int_0^1\dfrac{t^ne^{i(n+1)x}}{1-te^{ix}}\;dt)$.

Le même procédé appliqué à $\displaystyle\sum_{n=0}^N R_n$ donne le résultat: $\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} R_n=\dfrac12\cot\dfrac x2$.

side · July 2019

supp

math2 · July 2019

Merci pour vos retours. C'est vrai que, suivant la méthode de side, il ne m'était pas venu à l'idée de multiplier par $(1-z)^2$ pour récupérer la CV jusqu'au bord ...

Je regarderai demain plus en détails vos réponses, mais je suis rassuré de voir que sur cet exemple il est possible d'échapper aux calculs pénibles (quoique naturels) à coup de transformations d'Abel.

totem · July 2019

@math2 :stp comment obtiens-tu : $$

\sum_{n=0}^{+\infty} \sum_{p\geq n+1} \frac{(re^i)^p}{p}=\sum_{p \geq 1}(re^i)^p \quad ?$$

math2 · July 2019

Dans le cas où la série double est sommable (ce qui est le cas ici), ou dans le cas (réel) positif, on a :

$$\sum_{n\geq 0} \sum_{p>n} u_p=\sum_{n\geq 0} \sum_{p\geq 1} 1_{p>n}u_p=\sum_{p\geq 1} \sum_{n\geq 0} 1_{p>n}u_p$$
or pour tout $p\geq 1$, $\sum_{n\geq 0} 1_{p>n}$ est égal au nombre d'entiers naturels strictement inférieurs à $p$, c'est donc $p$.

On commence dans notre cas par faire le calcul avec $|u_p|$ (où là tout fonctionne par Fubini positif), pour constater que la famille est sommable, puis ensuite on refait le calcul sans le module pour obtenir le résultat.

totem · July 2019

Merci pour ta réponse mais je ne comprends pas très bien : c'est $\sum_{n\geq 0} 1_{p>n}$ ou $ 1_{p>n}$ qui est égal au nombre d'entiers strictements inférieurs à $p$ ? :-S

En fait ça me rappelle une transformation d'Abel sur les restes que nous avait présenté un des membres du forum (Chaurien ??)

Poirot · July 2019

@otem : si $$1_{p>n} = \left\{\begin{array}{l}1 \text{ si } n < p\\0 \text{ sinon}\end{array}\right.,$$ que vaut $\sum_{n\geq 0} 1_{p>n}$ ?

totem · July 2019

Euh je suis embêté car on connaît pas la valeur de $p$...je tente : 1+1+1+...+1 $p$ fois ? ah oui ça fait $p$ :-D

Poirot · July 2019

;-)

totem · July 2019

@Chaurien et aux autres s'ils connaissent : il y a bien des années de cela tu nous avais proposé une formule (je l'ai notée) :

Somme des restes d'une série positive convergente : soit $\sum_n u_n$ une série convergente et $R_n$ le reste d'ordre $n$.
Alors par transformation d'Abel on a :
\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n-1} R_k &= \sum_{k=0}^{n}ku_k +nR_n \\

\sum_{n} R_n \text{ converge} &\Leftrightarrow \sum_{n} nu_n \text{ converge} ,&\text{et alors}\\

\sum_{n=0}^{+\infty} R_n &= \sum_{n=0}^{+\infty} nu_n.

\end{align*} Après j'avais peut-être mal noté, il y a peut-être des erreurs !
Il me manque aussi la justification que $nR_n$ tend vers $0$...

À part ça j'obtiens : $$\frac{e^i}{1-e^i} =\frac{1}{2}cotan\Big(\frac{1}{2}\Big) (1-2\cos(1))\ldots$$

math2 · July 2019

$\displaystyle \frac{e^i}{1-e^i}=\frac{e^i}{-2i e^{i/2}\sin(1/2)}=\frac{ie^{i/2}}{2\sin(1/2)}=\frac{e^{i(1/2+\pi/2)}}{2\sin(1/2)}=\frac12 \big(-1+\cot(1/2)\big)$

Pour le reste, je regarde ton Abel demain, cependant avec Fubini positif (ça doit porter un autre nom dans le cas des séries doubles, mais j'ai oublié) on a le résultat dans $\R \cup \{+\infty\}$ sans même se poser la question de la convergence et sans se poser la question du terme de bord qui semble te gêner.

Il faut bien entendu prendre garde que dans le cas qui nous intéresse, même si on se limite au sinus pour rester réel, on n'est pas dans un cas positif.

Chaurien · July 2019

@ totem
«Il y a bien des années», en fait trois ans, on parlait de sommes de restes :
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1311067
Bonne journée

totem · July 2019

@Chaurien : mercid'avoir déterré ce vieux topic ! Est-ce que tu te souviens comment tu montres que $nR_n$ tend vers $0$ ? $R_n$ facile puisque la série converge.

Chaurien · July 2019

@totem
(1) À mon âge les années passent comme des colombes et trois ans ce n'est pas vieux.
La formule : $\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} R_k = \sum_{k=0}^{n}ku_k +nR_n$ se démontre très simplement, sans Fubini ni Abel, par sommation verticale de :
$R_0=u_1+u_2+u_3+...+u_n+u_{n+1}+...$
$R_1=~~~~~~~~~~u_2+u_3+...+u_n+u_{n+1}+...$
..................................................................................
$R_{n-1}=~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~u_n+u_{n+1}+...$
ou bien bêtement, par récurrence.
Comme j'ai dit dans le fil d'il y a trois ans, cette formule a des applications en Calcul des Probabilités, et l'on peut l'utiliser dans des problèmes pour prépa-HEC.

Chaurien · July 2019

@totem
(2) On suppose que la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nu_{n}$ converge.
On a : $\displaystyle\rho _{n}=\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}ku_{k}\geq
\overset{+\infty }{\underset{k=n+1}{\sum }}nu_{k}=nR_{n}\geq 0$.
En conséquence : $\displaystyle \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }nR_{n}=0$. Etc.

(3) On suppose que la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}$ converge.
D'après l'identité de (1), on a : $\displaystyle \overset{n}{\underset{k=0}{\sum }}ku_{k}=\overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum }}R_{k}-nR_{n}\leq \overset{n-1}{\underset{k=0}{\sum }}R_{k}\leq \overset{+\infty }{\underset{k=0}{\sum }}R_{k}$.
La série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nu_{n}$ converge donc. Toujours d'après la même identité, il en résulte : $\displaystyle \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }nR_{n}=L\geq 0$.
Si $L>0$, alors $\displaystyle R_{n}\sim \frac{L}{n}$ quand $n\rightarrow +\infty $, et la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}$ serait divergente. D'où $L=0$.
Autre méthode. Si $z_n$ est une suite réelle décroisssante telle que la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}z_{n}$ converge, alors $\displaystyle \underset{n\rightarrow +\infty }{\lim }nz_{n}=0$. C'est le cas de $R_n$. Mais encore faut-il connaître ce résultat - ou le redémontrer.
Bonne journée.

totem · July 2019

Merci beaucoup . J'ai retrouvé ton résultat avec une transformation d'Abel "facile" sur $u_n $ et en remplacant $S_n$ (suite des sommes partielles) par...$S-R_n$ ! et ça marche bien.

Chaurien · July 2019

@ totem
Dans les démonstrations précédentes, la positivité du terme général $u_n$ intervient de façon importante.
On peut généraliser en affirmant que si $u_n \in \mathbb C$, si la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nu_{n}$ converge absolument, alors la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}$ converge absolument, et ces deux séries ont même somme.
MAIS...On peut trouver une suite réelle $u_n$ telle que la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}u_{n}$ converge absolument ainsi que la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}R_{n}$, mais telle que la série $\displaystyle \overset{+\infty }{\underset{n=0}{\sum }}nu_{n}$ diverge.

totem · July 2019

Par exemple ? une série alternée bien choisie ? :-)

$u_n=\frac{(-1)^n}{n\sqrt{n}}$ FAUX

Somme des restes

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 8