Prolongement de fonctions

Bonjour
Notons $f$ la fonction définie sur les réels par $f(x)=0$ si $x\leq 0$ et $f(x)=1/x\exp (-1/x)$ si $x>0$.
Cette fonction est infiniment dérivable mais pas DSE, cela, je le sais.

On m'a dit que cette fonction servait à prolonger de manière $C^\infty$ des fonctions.

Pourriez-vous m'expliquer par exemple comment prolonger la fonction $g$ suivante en une fonction $C^\infty$ sur $\R$,
si $g$ est la fonction carrée sur $]-\infty,2]$ et la fonction cube sur $[5,\infty[$.

En vous remerciant.