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Prolongement de fonctions
il y a trois mois
Bonjour
Notons $f$ la fonction définie sur les réels par $f(x)=0$ si $x\leq 0$ et $f(x)=1/x\exp (-1/x)$ si $x>0$.
Cette fonction est infiniment dérivable mais pas DSE, cela, je le sais.

On m'a dit que cette fonction servait à prolonger de manière $C^\infty$ des fonctions.

Pourriez-vous m'expliquer par exemple comment prolonger la fonction $g$ suivante en une fonction $C^\infty$ sur $\R$,
si $g$ est la fonction carrée sur $]-\infty,2]$ et la fonction cube sur $[5,\infty[$.

En vous remerciant.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Prolongement de fonctions
il y a trois mois
Bonsoir,
$f(x) f(1-x)$ est une fonction positive de classe $C^{\infty} $ à support dans $[0;1]$
Son intégrale sur $R$ est donc un réel $I>0$
Soit alors $F(x) =\int_{-\infty}^{x} f(t)f(1-t)dt/I$
On vérifie qu'elle est croissante, positive, nulle sur $]-\infty ;0]$ égale à $1$ sur $[1;+\infty[$ et de classe $C^{\infty}$.



Soit alors $H(x) =x^2F(4-x)+x^3F(x-3)$ prolonge la fonction $g$ et est de classe $C^{\infty}$
Re: Prolongement de fonctions
il y a trois mois
Merci beaucoup pour cette réponse limpide !
geo
Re: Prolongement de fonctions
il y a trois mois
Mais $g$ est quoi entre 2 et 5 puisque tu la veux sur $\mathbb{R}$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Prolongement de fonctions
il y a trois mois
Bonjour Geo.

Dans l'énoncé de Philothée, la fonction $g$ n'était pas définie entre 2 et 5, d'où la possibilité de la prolonger. C'est $H$ qui est définie sur tout $\mathbb R$.

Cordialement.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
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