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$h=f+g$ croissante + décroissante

Envoyé par reuns 
$h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
Soit $h $ Schwartz $\R \to \R$ alors il existe $\phi \ge 0$ Schwartz et $w \in L^1$ telles que $h' = w \ast \phi$

(prendre $p(y) = (1+y^2)\sup_{|z| > y} (|z\hat{h}(z)|+|\hat{h}'(z)|)^{1/4}$, $\varphi \ge 0\in C^\infty_c, \hat{\phi} = p \ast \varphi \ast \varphi(-.) \ast p(-.)$ et $\hat{w} = \frac{\hat{h'}}{\hat{\phi}}$)

Soit $u(x) = \int_{-\infty}^x \max(w(y),0)dy, v(x)= w(x)-u(x)=\int_{-\infty}^x \min(w(y),0)dy$

$f =u \ast \phi\in C^\infty$ est croissante et $ g=v \ast \phi \in C^\infty$ est décroissante

$h = f+g$



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par reuns.
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
avatar
Reuns

Veux-tu préciser la question, car je te vois répondre à une question invisible.
J'imagine que la question est : Toute fonction régulière est - elle la somme de deux fonctions monotones de monotonie opposée ?
Je crains que ta réponse est fausse, je me rappelle ( P ou Bobyjoé) avait expliqué que ceci à une lien avec les fonctions à variations bornées

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
Bonjour,

Réponse très partielle : $h=f+g$ avec $f, g \in C^1$ avec $f(x)=\int_{-\infty}^{x}|h^{'}(t)|dt$ et $g(x)=\int_{-\infty}^{x} h^{'}(t)-|h^{'}(t)|dt$
$f, g$ de classe $C^{\infty} $ sur tout intervalle $I$ ou $h^{'}$ ne s'annule pas (sur un tel intervalle $f$ ou $g$ est constante).
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
Je le refais, pour le cas $h$ Schwartz $\R \to \R$ j'ai une démo simple donc convaincante que $h = f+g$ avec $f,g \in C^\infty$ croissantes et décroissantes :

Citation

On pose $p(x) =(1+x^2)\max(e^{-x^2}, \sup_{|y| > x+1} |\widehat{h'}(x)|)$ qui est à décroissance rapide, on prend $\varphi \ge 0\in C^\infty_c(-1,1)$, $\widehat{\Phi} = p \ast \varphi $ est Schwartz $\ge 0$ et décroit comme $p$

$\widehat{\phi} = \widehat{\Phi} \ast \widehat{\Phi}(-.)$ est Schwartz et ne décroit pas plus vite que $p$

$\widehat{w} = \frac{\textstyle\widehat{h'}}{\widehat{\Phi}} $ est $O(\frac{1}{1+x^2})$ donc $w$ est bornée (elle est aussi réelle)

$\phi = |\Phi|^2$ est Schwartz et on a $h' = \phi \ast w$ où $w$ est bornée

Donc $f' = \phi \ast \max(w,0)$ est $C^\infty$ et $\ge 0$ et $g' = \phi \ast \min(w,0)$ est $C^\infty$ et $\le 0$

$f(x) = h(0)+ \int_0^x f'(y)dy$ est $C^\infty$ croissante et $g(x) = \int_0^x g'(y) dy$ est $C^\infty$ décroissante

et $h = f+g$



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par reuns.
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
Après je viens de me rendre compte qu'il y a une solution vraiment triviale :

$A = \sup_x h'(x)$ alors $g(x) =h(x)-Ax$ est décroissante

et $h = Ax+g$





Si $h$ est $C^\infty$ et $ \sup_x h'(x)= \infty$ est-ce qu'il y a un moyen de savoir s'il existe $f,g \in C^\infty$ croissantes décroissantes telles que $h = f+g$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par reuns.
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
avatar
Side à donné la solution je pense. Une fonction définie sur un intervalle compact est la différence de deux fonctions croissantes ssi elle est à variations bornées. On peut alors décomposer $f$ en $g-h$ où $g$ est la variation totale de $f$. Pour une fonction $C^1$ la variation totale s'exprime comme $\int |f'(t)| \mathrm dt$.

Si je ne dis pas de bêtises une fonction s'écrit comme différence de deux fonctions monotones ssi elle est localement à variation bornées et alors on a les décompositions évoquées précédemment. Donc la réponse à ta seconde question devrait être "dès que $f'$ est localement intégrable".

EDIT : mea culpa, je n'avais pas bien vu l'hypothèse $C^\infty$.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Corto.
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
avatar
Reuns
Merci d'avoir préciser enfin la question. peux-tu erre plus précis pour les visiteurs : h est $C^{\infty}$ sur quoi?$\R$ ou un intervalle de $\R$

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
avatar
Avec l'hypothèse $C^\infty$ : pour décomposer $f$ en $g-h$ il suffit de trouver $g$ croissante telle que $f-g$ soit décroissante. On peut donc se ramener à trouver une fonction $g'$ qui soit $C^\infty$, et telle que $g'\geq |f'|$ puis on intègre.

Je crois que c'est un exercice classique de montrer que si $\varphi$ est une fonction continue sur $\R$ il existe une fonction $\psi$ qui est $C^1$ sur $\R$ et telle que $\varphi\leq \psi$. Je suppose qu'on peut faire pareil avec $C^\infty$ à la place de $C^1$.
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
Je trouve tout ça top à lire thumbs downhot smiley



Edité 4 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par callipiger.
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
avatar
@ callipiger

Pourquoi ce n'est pas top à lire? Mettre la charrette avant les bœufs ou bien donner la réponse avant la question te donne du vertige ?

@Corto
Je ne comprends pas ton idée, tu dis : il suffit qu'il existe g régulière telle que $$ \forall x\in \R,\quad g(x)\geq g(a)+\int_a^{x} |f'(t)| dt.
$$ Mais après, pour remonter le raisonnement, donc il faut dériver mais la dérivation n'est pas croissante.

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
@gebrane:
ne pas se méprendre, j'adore lire toutes les réponses et les preuves ou ébauches de preuves et il y encore tellement je crois (et... bref...)
si je reste sur ce topic je pourrais y passer la journée à tenter tout et n'importe quoi ... et c'est comme ça que je suis
ensuite j'ai aussi tendance à vouloir répondre trop vite, parfois en étant juste, parfois en étant faux, parfois entre les deux
en ayant lu la question initiale à moitié



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par callipiger.
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
avatar
@callipiger
Ce verbe pronom se méprendre je ne connais pas sa signification
J'ai cherché et je trouve : Se méprendre : Se tromper dans l'appréciation de quelque chose ou de quelqu'un, en prenant une chose, une personne pour une autre. Synon. se tromper.

Je me suis mal exprimé, je voulais dire dans mon message que je ressens des vertiges dans je lis reuns ( très difficile de comprendre ce qu'il veut dire) Attention il est médaillé en or sur ME

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
@gebrane:
sur ce topic, ce qui m'a aussi donné le vertige c'est:
on sait décomposer une fonction de l'espace de Schwartz en une différence de fonctions monotones
en intégrant tout ça...
comment cela se traduit de "jolie façon" (à définir/découvrir/apprécier/s'appliquer à un problème) sur l'ensemble des fonctions bornées sur $\mathbb{R}$ ?

je donne la métaphore car je ne sais pas exprimer cela comme il faut autrement en si peu de temps (quitte à me tromper):
une fonction convexe est un point
une fonction bornée est un segment ? un vecteur ?
etc etc etc, quelle métrique choisir ? etc ?
un tas de questions.
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
avatar
Gebrane : Tu as compris mon poste et celui de callipiger à l'envers. Callipiger trouve que c'est top, tu lui demande pourquoi ce n'est pas top. Dans mon message je parle d'intégrer et toi tu me parles de dériver winking smiley

Comme je n'étais peut-être pas clair je reprend :
Lemme : Soit $\varphi : \R \to \R$ une fonction continue, il existe $\psi : \R \to \R$ une fonction $C^\infty$ telle que $\psi \geq \varphi$.
Prenons maintenant notre fonction $f \in C^\infty ( \R)$ qu'on souhaite décomposer. La fonction $|f'|$ est continue, il existe donc une fonction $\psi\in C^\infty(\R)$ telle que $\psi \geq |f'|$. On pose alors $g$ la primitive de $\psi$ qui s'annule en $0$. La fonction $g$ est croissante car $g'\geq 0$, elle est $C^\infty$ car $g'=\psi$ l'est et $f-g$ est décroissante car $f'-g' \leq |f'|-g' \leq 0$. On pose alors $h = f-g$ et on a bien $f=g+h$ avec $g,h$ deux fonctions $C^\infty$ respectivement croissante et décroissante.

La démonstration du lemme est laissée au lecteur (j'espère qu'il est vrai, j'ai une démo en tête mais un peu la flemme de l'écrire drinking smiley)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par Corto.
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
avatar
Avec cette chaleur, je délire, je vois à l'envers thumbs up
Merci corto
Heureusement dans ce Forum, on ne sanctionne un membre par ses délires (n'est-ce pas @AD)smiling smiley

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
avatar
Corto Bonjour,
Peux-tu donner les grandes lignes de la preuve de ton lemme.
Il est faux si on remplace $\R$ par un segment [a,b] , n'est ce pas ?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
S'il est vrai sur $\mathbb R$ il est en particulier vrai sur tout segment puisqu'une fonction continue sur un segment se prolonge toujours en une fonction continue sur $\mathbb R$.
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
avatar
Poirot
Oui tu as raison
s'il te plait donne moi un congé forcé d'une semaine

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: $h=f+g$ croissante + décroissante
il y a deux mois
avatar
Sur un segment il est trivial : une fonction continue y est bornée. Sur $\R$ l'idée n'est pas très différente. Soit $\varphi$ une fonction continue sur $\R$, on note $\phi$ la fonction constante par morceaux définie par $\phi(x)=1+\sup_{y\in[n;n+1]}f(y)$ où $x\in [n;n+1[$. On a bien $\phi \geq f$. Ensuite on recolle ces morceaux de façon $C^\infty$ pour obtenir une fonction $\psi\geq \phi$. On se convainc facilement à l'aide d'un dessin qu'on peut bien faire ce recollement $C^\infty$ en restant toujours au dessus du graphe de $\phi$.
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