Convergence simple de polynômes

Bonjour, je bloque sur cet exercice.

Soit $(P_n)_{n\in\mathbb{N}}$ une suite de polynômes à coefficients positifs convergeant simplement vers $f$ sur $\mathbb{R}$, montrer que $f$ est $\mathcal{C}^{\infty}$.

Voilà ce que j'ai fait.
- Si la convergence est uniforme sur $\mathbb{R}$, alors $f$ est un polynôme et c'est fini.
- En prenant l'exemple de l'exponentielle et de son développement en série entière sur $\mathbb{R}$, j'ai essayé de regarder si c'était plus facile si $f$ était analytique mais les coefficients de $P_n$ peuvent dépendre de $n$ ce qui me bloque.
- Dans le cas général, si $P_n=\sum_{k=0}^{+\infty}{a_{n,k}X^k}$ avec $(a_{n,k})_{k\in\mathbb{N}}$ presque nulle, alors les suites $(a_{n,k})_{k\in\mathbb{N}}$ sont bornées, cela assure une certaine régularité pour les $P_n$...

Merci de votre aide.