Une limite (vraiment) difficile
dans Analyse
Bonjour à tous
Voici un exercice assez difficile sur les suites (pour ceux qui aiment chercher un peu).
Soit $a \in \mathbb{R}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $u_n=\big(\cos(n! \pi a)\big)^{2n^3}$ et $v_n=\inf\{u_k|k \geq n\}$.
Démontrer que $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge, et déterminer sa limite en fonction de $a$.
Question bonus : que dire de la convergence de $(u_n)$ ?
Bon courage ! :-)
Voici un exercice assez difficile sur les suites (pour ceux qui aiment chercher un peu).
Soit $a \in \mathbb{R}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose $u_n=\big(\cos(n! \pi a)\big)^{2n^3}$ et $v_n=\inf\{u_k|k \geq n\}$.
Démontrer que $(v_n)_{n \in \mathbb{N}}$ converge, et déterminer sa limite en fonction de $a$.
Question bonus : que dire de la convergence de $(u_n)$ ?
Bon courage ! :-)
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Réponses
Pour la première question, il faut montrer que si $a$ est irrationnel, la limite de $(v_n)$ est nulle.
Pour la deuxième question, il faut montrer que la suite $(u_ n)$ diverge « la plupart du temps ».
> Si $a$ est rationnel la question est triviale puisqu'à partir d'un certain rang, $\cos(n!\pi a)
= 1$.
Cela veut dire qu'à partir d'un certain rang $n!\pi a = 0 $ ?
Si vous le souhaitez, je donnerai des éléments de correction ce weekend pour les deux questions (je n'aurai pas le temps de le faire avant ce weekend: le corrigé est un peu long).
On commence par écrire
$I_n=\int_0^{1} \cos(n! t \pi )^{2n^3} dt= \frac{1}{n! \pi}\int_{0}^{n!\pi} \cos(t)^{2n^3} dt = \frac{1}{\pi}\int_0^\pi \cos(t)^{2n^3} dt$ par un changement de variables et la $\pi$-périodicité de l'intégrande. On continue de manipuler un peu ça et on tombe sur $I_n = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi/2}\sin(t)^{2n^3} = \frac{2}{\pi}W_{2n^3}$ où $(W_n)_n$ est la suite des valeurs des intégrales de Wallis.
On sait que $W_n \sim \sqrt{\frac{\pi}{2n}}$ donc $I_n \sim \frac{1}{n^{3/2}\sqrt \pi} $ et donc la série $\sum I_n$ est convergente. On en déduit par Fubini que \[
\sum_{n=1}^\infty \int_0^{1} \cos(n! t \pi )^{2n^3} dt = \int_{0}^1 \sum_{n=1}^\infty \cos(n! t \pi )^{2n^3} dt <\infty
\] Ce qui veut dire que l'intégrande est fini pour presque tout $t \in [0;1]$ donc que $\sum_{n=1}^\infty \cos(n! t \pi )^{2n^3}$ converge pour presque tout $t\in [0;1]$ et finalement que $ (\cos(n! t \pi )^{2n^3})_n$ converge vers $0$ pour presque tout $t\in [0;1]$.
Bon je trouve une suite qui converge la plupart du temps, ce qui est en contradiction avec l'indication d’Adrien. Je vois plusieurs possibilités :
- J'ai fait une erreur
- Adrien a fait une erreur
- Personne n'a fait d'erreur : on sait que les gros ensembles au sens de Lebesgue ne sont pas les mêmes que ceux au sens de Baire.
La troisième option serait la plus amusante.Dans tous les cas je veux bien voir une correction.
On a
\[\pi (n^2)! a = 2\pi (n^2)! \left[(1+\ldots + 1/(n^2)!)+\sum_{k=n+1}\frac{1}{(k^2)!}\right].\]
Le premier terme est un multiple entier de $2\pi$ et pour le second terme si je ne me trompe pas on a l'estimation
\[(n^2)! \sum_{k=n+1}\frac{1}{(k^2)!}\leq \frac{2}{n^{4n}}.\]
Puisque $\cos(2/{n^{4n}})^{2n^6}\geq (1-2/n^{8n})^{2n^6}\to 1$ on en déduit que $(\cos(n! \pi a)^{2n^3})_n$ admet $1$ comme valeur d'adhérence . Il y a donc bien des irrationnels pour lesquels la suite $(u_n)_n$ n'est pas convergente.
Voici la correction de la question 2 (il reste à montrer la question 1, qui est nécessaire pour la correction de la seconde question). Cette solution n’est pas de moi: elle m’a été transmise par un ami en prépa (comme le reste de l’exercice d’ailleurs).
On peut interpréter la suite $(u_n)$ comme une suite de fonctions de $a$ continues sur l’intervalle $\mathbb{R}$. Le théorème de Baire en question affirme que si cette suite converge alors l’ensemble des points en lesquels sa limite est continue est dense dans son domaine de définition (ici $\mathbb{R}$).
Si la suite $(u_n)$ converge alors sa limite est la même que celle de $(v_n)$. Donc, si cette suite converge pour tout réel $a$, alors sa limite est l’indicatrice des rationnels, qui est discontinue en tout point. Donc il existe au moins une valeur de $a$ pour laquelle la suite $(u_n)$ diverge.
En appliquant ceci à la restriction des «fonctions» $u_n$ à un segment de $\mathbb{R}$ de longueur non nulle, on démontre ainsi que tout segment de longueur non nulle contient au moins une valeur de $a$ pour laquelle la suite $(u_n)$ diverge.
Il reste à montrer la première question :-)
Au passage, tu démontres que la suite $(u_n)_n$ est divergente sur un ensemble dense, c'est un résultat intéressant mais loin de ce que tu avais annoncé ("diverge la plupart du temps"). En effet un ensemble dense n'a aucune raison d'être "gros", ni au sens de Baire, ni au sens de Lebesgue ni au sens de la cardinalité. Un exemple de cela est l'ensemble des rationnels : il est dense dans $\R$, petit au sens du cardinal (ie dénombrable), petit au sens de Lebesgue (de mesure nulle) et petit au sens de Baire (union dénombrable de fermés d'intérieur vide).
Au final je pense que l'ensemble des points de divergence est aussi petit au sens de Baire (mais j'ai un peu la flemme d'essayer de le démontrer).
Remarque : en reprenant la démonstration de mon deuxième message on voit que pour tout nombre $a $ de la forme $q + 2\sum_{k=n}^\infty 1/(k^2)! $ où $q\in \Q$ et $n\in \N$ la suite $(u_n)_n$ diverge. L'ensemble des $a$ de cette forme est bien dense dans $\R$.
Side : La preuve de mon premier message est, s'il on y regarde bien, juste un Borel Cantelli déguisé. Si l'on remplace l'exposant $2n^3$ par $2n^2$ (ou quelque chose de plus petit) la somme des intégrales $I_n$ diverge, je pense qu'il est alors possible de faire un genre de réciproque de Borel Cantelli et de montrer qu'alors la suite diverge presque partout. L'<<indépendance>> nécessaire à la réciproque de Borel Cantelli viendrait du fait que les périodes $1/n!$ et $1/m!$ des fonctions $a\mapsto u_n(a)$ et $a\mapsto u_m(a)$ sont très différentes dès que $n\neq m$ et $n,m$ assez grands.
De plus il semble en effet que l’expression « la plupart du temps » soit un peu abusive. J’ai repris les termes tels qu’on me les a transmis et je n’ai pas réalisé sur le coup que le résultat montrée était plus faible que le résultat annoncé. Merci de me l’avoir signalé, je serai plus précautionneux à l’avenir :-)