Prolongement continu de fonction

@Philothée sans hypothèse supplémentaires tu ne peux pas forcément prolonger $f$. Par exemple la fonction qui vaut 1 sur les irrationnels négatifs et $0$ sur les irrationnels positif est continue sur les irrationnels mais ne peut pas être prolongée de façon continue à $\mathbb{R}$ tout entier (problème en $0$).

Pour pouvoir prolonger $f$ de façon unique il suffit que $f$ soit uniformément continue. Voir prolongement par continuité sur Wikipedia.

En gros l'hypothèse de continuité uniforme te garantit que $f$ transforme les suites de Cauchy en suites... de Cauchy. Du coup pour définir $f$ sur un rationnel $x$ tu n'as qu'à prendre une suite de Cauchy $(x_n)$ d'irrationnels qui converge vers $x$, la suite image $f(x_n)$ est une suite de Cauchy qui converge (car $\mathbb{R}$ est complet). Tu définis alors $f(x)$ comme étant égal à $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f(x_n)$. Voilà après il faut vérifier que la limite ne dépend pas de la suite choisie etc. etc.