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Prolongement continu de fonction

Envoyé par Philothée 
Prolongement continu de fonction
il y a deux mois
Bonjour
Soit $f:\R\setminus\Q\rightarrow \R$ une fonction continue. Comment la prolonger sur $\R$ en une fonction continue ?
Je vous remercie.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux mois et a été effectuée par AD.
Re: Prolongement de fonction
il y a deux mois
@Philothée sans hypothèse supplémentaires tu ne peux pas forcément prolonger $f$. Par exemple la fonction qui vaut 1 sur les irrationnels négatifs et $0$ sur les irrationnels positif est continue sur les irrationnels mais ne peut pas être prolongée de façon continue à $\mathbb{R}$ tout entier (problème en $0$).

Pour pouvoir prolonger $f$ de façon unique il suffit que $f$ soit uniformément continue. Voir prolongement par continuité sur Wikipedia.

En gros l'hypothèse de continuité uniforme te garantit que $f$ transforme les suites de Cauchy en suites... de Cauchy. Du coup pour définir $f$ sur un rationnel $x$ tu n'as qu'à prendre une suite de Cauchy $(x_n)$ d'irrationnels qui converge vers $x$, la suite image $f(x_n)$ est une suite de Cauchy qui converge (car $\mathbb{R}$ est complet). Tu définis alors $f(x)$ comme étant égal à $\lim\limits_{n \rightarrow +\infty} f(x_n)$. Voilà après il faut vérifier que la limite ne dépend pas de la suite choisie etc. etc.
Re: Prolongement continu de fonction
il y a deux mois
Je vous remercie pour votre réponse très claire.
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