Ensembles non mesurables
Bonjour à tous,
J'aurais besoin de votre aide...
La référence de ma question sera le livre de Durrett "theories and examples in probabilities", mais j'essayerai de donner assez de détails pour s'en passer.
Je cherche à construire un ensemble non mesurable de $I=[0,1]$ muni de la mesure de Lebesgue notée $\mu$.
Quelques définitions : Durrett construit une tribu $\mathcal{T}$ en tant que tribu engendrée par les ouverts, et il complète cette tribu en ajoutant tout les ensembles négligeables (c'est-à-dire les sous-ensembles des ensembles de mesure nulle). On note cette tribu $\bar{\mathcal{T}}$, et ses éléments sont appelés les ensembles mesurables.
En prenant (avec l'axiome du choix) des représentants de chaque classe d'équivalence de $I$ muni de la relation d'équivalence $x\sim y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Q}$, on arrive à construire un ensemble non mesurable $B$ constitué de tout ces représentants.
De plus on peut construire une "pseudo-mesure" sur $\mathcal{P}(I)$ en définissant $\mu^\star (E)=\inf \sum \mu(A_i)$, avec l'infimum étant pris sur l'ensemble des $\cup A_i$ tels que $E \subset \cup A_i$ et $A_i \in \mathcal{T}$ .
Ma question est alors : que vaut $\mu^\star (B)$ ?
J'aurais besoin de votre aide...
La référence de ma question sera le livre de Durrett "theories and examples in probabilities", mais j'essayerai de donner assez de détails pour s'en passer.
Je cherche à construire un ensemble non mesurable de $I=[0,1]$ muni de la mesure de Lebesgue notée $\mu$.
Quelques définitions : Durrett construit une tribu $\mathcal{T}$ en tant que tribu engendrée par les ouverts, et il complète cette tribu en ajoutant tout les ensembles négligeables (c'est-à-dire les sous-ensembles des ensembles de mesure nulle). On note cette tribu $\bar{\mathcal{T}}$, et ses éléments sont appelés les ensembles mesurables.
En prenant (avec l'axiome du choix) des représentants de chaque classe d'équivalence de $I$ muni de la relation d'équivalence $x\sim y \Leftrightarrow x-y \in \mathbb{Q}$, on arrive à construire un ensemble non mesurable $B$ constitué de tout ces représentants.
De plus on peut construire une "pseudo-mesure" sur $\mathcal{P}(I)$ en définissant $\mu^\star (E)=\inf \sum \mu(A_i)$, avec l'infimum étant pris sur l'ensemble des $\cup A_i$ tels que $E \subset \cup A_i$ et $A_i \in \mathcal{T}$ .
Ma question est alors : que vaut $\mu^\star (B)$ ?
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Réponses
Ça ne donne pas encore un ensemble de Vitali de mesure extérieure arbitraire, mais ça montre qu'elle peut être rendue aussi petite que souhaitée
J'en profite pour expliciter pourquoi $qB$ est un ensemble de Vitali :
1) Les éléments que $qB$ appartiennent chacun à une classe d'équivalence différente de $\sim$ :
Quel que soit $x,y\in qB$, $x-y\in \mathbb{Q}$ implique que $\frac{x}{q}-\frac{y}{q} \in \mathbb{Q}$ et $\frac{x}{q}\in B$ et $\frac{y}{q}\in B$, ce qui, par définition de $B$ entraine $x=y$
2) Toute classe d'équivalence de $\sim$ a un représentant dans $qB$.
Soit $x\in [0,1]$, alors $\frac{x}{q}$ a un représentant $r$ dans $B$, et $qr$ est alors un représentant de $x$ dans $qB$ : $x-qr = q\left( \frac{x}{q} - r \right) \in \mathbb{Q}$